Формула Байеса

Теорема 4. Пусть имеется полная группа несовместных событий B₁, B₂,..., B_n. Известны Р(B_i), . Событие А, для которого Р(А)>0 может произойти толь с одним из . Известны Р(А/ B_i), . Тогда апостериорная вероятность Р(B_k/А) определяется формулой:

(2)

Доказательство По определению

На основе формулы полной вероятности получаем:

.‹

(2) - формула Байеса.

Вероятности Р(B_k) называются априорными (a priori - до опыта) вероятностями; Р(B_k/А) - апостериорными (a posteriori - после опыта). События B_i часто называют гипотезами.

Пример. В урне лежит шар неизвестного цвета, с равной вероятностью белый или черный. В урну кладут белый шар, перемешивают и вынимают наудачу шар. Он оказался белым. Какова вероятность того, что в урне остался белый шар?

Решение: Обозначим событие А={вынут белый шар}

B₁={в урне остался белый шар}={в урне был белый шар}; B₂={в урне черный шар}. Очевидно, Р(B₁)=Р(B₂)=1/2; P(A/ B₁)=1; P(A/ B₂)=1/2. Необходимо найти Р(B₁/А).

По формуле Байеса: