Наивероятнейшее число успехов в схеме Бернулли

Наступление события А в испытаниях называют успехом. Исследуем, как изменяется вероятность Р_n(m) от числа успехов m. Рассмотрим отношение

(5)

Как следует из (5):

1) Р_n(m+1)>P_n(m), если (n-m)p>(m+1)q, т.е. np-q>m;

2) P_n(m+1)<P_n(m), если np-q<m;

3) P_n(m+1)=P_n(m), если np-q=m, т.е. с увеличением m вероятность P_n(m) вначале увеличивается, когда m<np-q, а затем уменьшается, когда m>np-q.

Наибольшая вероятность P_n(m₀)= P_n(m₀+1), когда m₀=np-q. Значения m₀ и m₀+1 - наивероятнейшее висло успехов в схеме независимых испытаний Бернулли. Если np-q - не целое число, то P_n(m) достигает максимума при [np-q]+1=m₀, где [...] - означает целую часть.

Пример. Каково наивероятнейшее число присутствующих на занятиях студентов из предыдущего примера?

Очевидно, m₀=[10*0.9-0.1]+1=9 человек. P₁₀(9)=0.387 - максимальная вероятность.