Математическое ожидание

Определение 1: Математическим ожиданием или средним значением случайной величины X, заданной на вероятностном пространстве <W,F,P>, называется число

M[X]=

если. интеграл, стоящий в правой части, существует.

Мы знаем, что случайная величина Х(w) индуцирует меру Р_х на прямой, задаваемую равенством: P_x=P{X<x}=F(x), поэтому М[X] мы можем определить также как

, (1)

где F(x) - функция распределения случайной величины Х.

Из определения следует, что M[X] существует, если M½[X]½<¥. Практически редко встречаются случаи, когда математическое ожидание не существует. Если F(x) ─ ступенчатая функция (рассматривается дискретная случайная величина), то интеграл Стилтьеса в формуле (1) превращается в сумму

, Р(Х=х_i)=р_i,

- математическое ожидание для дискретной случайной величины.

Если F(x) имеет плотность f(x), то

- математическое ожидание для непрерывной случайной величины.

Математическое ожидание M[X] можно рассматривать как координату «центра тяжести» распределения F единичной массы на прямой и это соответствует естественному пониманию среднего значения этого распределения.