Нормальное распределение

Нормальный закон распределения (закон Гаусса) играет важную роль в теории вероятностей и занимает особое положение среди других законов. Такой закон имеет место, когда на формирование случайной величины оказывает влияние множество разнообразных факторов. Например, координаты точки попадания снаряда, рост, вес человека имеют нормальный закон распределения.

Случайная величина Х называется нормальной, если ее плотность вероятности имеет вид:

(1)

X~N(a,s) Þ случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами распределения (а,s).

Вычислим для нормальной случайной величины Х вероятность попадания на участок (a,b)

P{a<X<b}= (*)

Сделав в интеграле (*) замену переменной t= , и изменяя пределы интегрирования, получим

P{a<X<b}=

Как известно, неопределенный интеграл не выражается через элементарные функции, но его можно выразить через специальную функцию:

(2)

называемую функцией Лапласа или интегралом вероятностей, для которой составлены таблицы. С помощью этой функции вероятность попадания нормальной случайной величины на участок (a,b) выражается простой формулой

P{a<X<b}=Ф -Ф (3)

Функция Лапласа Ф(х) обладает следующими свойствами:

1) Ф(0)=0

Действительно, =0

2) Ф(-х)=-Ф(х) - нечетная функция.

Доказательство:

, делаем замену -t=z, получаем

, т.е. Ф(-х)=-Ф(х)–

3) Ф(+¥)=0.5; Ф(-¥)=-0.5

Это свойство следует из того, что используя соответствующую запись можно придти к интегралу Эйлера-Пуассона, и получаем следующее

Интеграл Эйлера-Пуассона:

›

Через функцию Лапласа просто выражается вероятность попадания нормальной случайной величины Х на участок длиной 2L.

P{a-L<X<a+L}=P{ <L}=Ф - Ф ,

принимая во внимание нечетность функции Лапласа, получаем

P{ <L}=2Ф (4)

Через функцию Лапласа выражается и функция распределения F(x) нормальной случайной величины Х. В формуле (3), полагая a=-¥, b=х, и учитывая, что Ф(-¥)=-1/2, получим:

F(x)= +Ф (5)

При изменении параметров распределения будет изменяться кривая распределения. При изменении а f(x) не изменяет своей формы, просто смещается вдоль оси абсцисс. Изменение s равносильно изменению масштаба кривой по обеим осям (см. рис. ниже)

f(x) F(x)