Дисперсия случайной величины. Её свойства

В теории вероятностей для измерения разброса значений случайной величины около среднего значения используют числовую характеристику, называемую дисперсия (в переводе с латинского - «рассеяние»).

Определение1. Дисперсией D[X] случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:

D[X] = D_x = M [(X - m_x)²] (1)

Для определения дисперсии можно использовать другую формулу, а именно:

D_x = M [(X - m_x)²] = M [X² - 2·X·m_x + m_x²] = M [X²] - 2·m_x² + m_x² = M [X²] - m_x²

D[X] = M [X²] - (M[X])² (2)

Определение2. Дисперсия случайной величины равна математическому ожиданию её квадрата минус квадрат математического ожидания.

Для дискретной случайной величины дисперсия рассчитывается по формуле:

Для непрерывной случайной величины дисперсия определяется по формуле:

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины, что неудобно, поэтому используется величина, называемая средним квадратичным отклонением (с.к.о.) (или «стандартом» или «стандартным отклонением» случайной величины) и обозначается s: s=s[X]=s_x= - корень берётся положительным.

Случайная величина Х называется центрированной (обозначается ), если математическое ожидание m_x=0. Центрированной случайной величиной называется отклонение случайной величины от её математического ожидания: =Х-m_x. Случайная величина Х называется стандартизированной, если m_x=0, s_X=1.