Функция распределения многомерной случайной величины. Ее основные свойства

Функцией распределения n-мерного случайного вектора или функцией совместного распределения случайных величин X₁,X₂,...,X_n называется неслучайная функция n действительных переменных x₁,x₂,...x_n [функция точки (x₁,x₂,...x_n) в n-мерном евклидовом пространстве Rⁿ], определяемая как вероятность совместного выполнения n неравенств.

В частном случае, для двумерного случайной величины (X,Y), имеем по определению

F_X,Y(x,y)=P{X<x,Y<y}

Функция распределения F_X,Y(x,y) обладает следующими свойствами:

1.

2 ;

3. - условие нормировки

4. Функция F_X,Y(x,y) - неубывающая функция своих аргументов.

5.Функция F_X,Y(x,y) - непрерывна слева по каждому из аргументов.

Свойство (2) называют условием согласованности. Оно означает, что функции распределения отдельных компонент двумерного случайного вектора могут быть найдены предельным переходом из функции совместного распределения этих компонент.

6. Вероятность попадания случайной точки на плоскости (X,Y) в прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат, может быть вычислена с помощью функции распределения по формуле:

P{x₁£X<x₂, y₁£Y<y₂}=F_X,Y(x₁,y₁)+ F_X,Y(x₂,y₂)- F_X,Y(x₁,y₂)- F_X,Y(x₂,y₁)