Виды сходимости последовательностей случайных величин

Как и в математическом анализе, в теории вероятностей приходится иметь дело с разными видами сходимости случайных величин. Рассмотрим основные виды сходимости: по вероятности; с вероятностью 1; в среднем порядка s; по распределению.

Пусть X₁, X₂,... - последовательность случайных величин задана на вероятностном пространстве < W,F,P>. Пусть на этом пространстве задана также и случайная величина X.

Определение 1. Последовательность случайных величин X₁,...,X_n,... называется сходящейся по вероятности к случайной величине X (обозначение: ), если для любого e>0 ("e>0) существует:

P{|X_n-X|>e}=0, n®¥ (1)

Определение 2. Последовательность случайных величин X₁,X₂,... называется сходящейся с вероятностью единица (почти наверное, почти всюду) к случайной величине X, если

(2)

т.е. если множество исходов w, для которых X_n(w) не сходятся к X(w), имеет нулевую вероятность. Этот вид сходимости обозначают следующим образом:

Определение 3. Последовательность случайных величин X₁, X₂,... называется сходящейся в среднем порядка s, 0 < s < ¥, к случайной величине X, если

M |X_n-X|^s®0, n®¥ или (3)

Если s = 2, то сходимость (3) называют сходимостью в среднем квадратическом и используют формулу.

(4)

Определение 4. Последовательность случайных величин X₁, X₂,... называется сходящейся по распределению к случайной величине, если во всех точках x, где функция распределения F_X(x) - непрерывна, выполняется условие

(5)

Это обозначается так: ; .

Замечание 1. О сходимости по распределению можно говорить и в том случае, если {X_n} и X заданы на разных вероятностных пространствах.

Замечание 2. Сходимость по вероятности, почти всюду, в среднем порядка s применима и к неслучайным величинам.