Производная функции одной переменной

1⁰. Задачи, приводящие к понятию производной.

Задача о скорости движущейся точки

Пусть s = s (t) представляет з акон прямолинейного движения материальной точки.

Это уравнение выражает путь s, пройденный точкой, как функцию времени t.

Обозначим через Δ s путь, пройденный за промежуток времени Δ t от момента t до t + Δ t, т. е.
Δ s = s (t + Δ t) - s (t). Отношение называется средней скоростью точки за время от t до t + Δ t.

Чем меньше Δ t, т. е. чем короче промежуток времени от t до t + Δ t, тем лучше средняя скорость характеризует движение точки в момент времени t. Поэтому естественно ввести понятие скорости v в данный момент t, определив ее как предел средней скорости за промежуток от t до t + Δ t, когда Δ t→ 0:

Величина v называется мгновенной скоростью точки в данный момент t.

Задача о касательной к данной кривой.

Пусть на плоскости хОу дана кривая уравнением у = f (х). Требуется провести касательную к данной кривой в данной точке .

Так как точка касания дана, то для решения задачи потребуется найти только угловой коэффициент искомой касательной, т. е. tg φ — тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси Ох (рис.16).
Рис.16

Через точки и проведем секущую

Из рис. видно, что угловой коэффициент tg α секущей равен отношению —, где
Угловой коэффициент касательной к данной кривой в точке можно найти на основании следующего определения:
Определение 1. К асательной к кривой в точке называется прямая , угловой коэффициент которой равен пределу углового коэффициента секущей , когда . Отсюда следует, что

Определение 2. Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при произвольном стремлении этого приращения к нулю:

Значение производной функции в какой-либо данной точке обозначается обычно или .

Геометрический смысл производной. Значение производной равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке с абсциссой .

Механический смысл производной. Пусть задан путь s = s (t) движения материальной точки. Скорость данной материальной точки в момент времени t есть производная от пути s по времени t: v(t)=

Теорема (необходимое условие дифференцируемости). Пусть функция определена в точке и некоторой ее окрестности и дифференцируема в этой точке (т.е. имеет производную). Тогда функция непрерывна в этой точке.

Доказательство. , следовательно, непрерывна в точке .

2⁰. Основные свойства производной

Теорема 1. Пусть функции , дифференцируемы. Тогда функция будет дифференцируема и

Доказательство.

Теорема 2. Пусть функции , дифференцируемы. Тогда функция будет дифференцируема и

Доказательство.

Теорема 3. Пусть функции , дифференцируемы. Тогда функция будет дифференцируема (там, где она существует) и

Доказательство.

3⁰. Производная сложной функции

Теорема. Пусть функция определена в некоторой окрестности и дифференцируема в точке ; функция определена в точке : некоторой окрестности и дифференцируема в точке . Тогда будет дифференцируема в точке , причем

Доказательство. Дадим приращение . Тогда и получат соответственно приращения и .

Предположим, что при не принимает значений, равных нулю. Тогда рассмотрим:

Т.к. функция дифференцируема в точке , а, следовательно, и непрерывна в точке , то при также и . Следовательно,

Замечание. Теорема остается справедливой и в случае, если будет обращаться в нуль.

Пример. Найти производную функции .

Решение.

4⁰. Производная обратной функции

Теорема. Пусть функция определена в точке и некоторой ее окрестности и монотонна в этой окрестности (т.е. либо возрастает, либо убывает). Тогда, если функция дифференцируема в точке , то обратная функция будет дифференцируема в точке : и производная обратной функции:

Доказательство. Рассмотрим точку и значение функции . Рассмотрим точку из окрестности точки и . – приращение аргумента, тогда будет меняться: .

Замечание. Если , то теорема в этом случае не работает.

5⁰. Уравнения касательной и нормали к линии

Составим уравнение касательной к линии , являющейся графиком функции в ее точке , где (рис. 17). Т.к. касательная проходит через точку и имеет угловой коэффициент, равный , то ее уравнение имеет вид

. (1)

Определение. Нормалью к линии в ее точке называется прямая, проходящая через точку перпендикулярно касательной данной линии, построенной в точке .

Т.к. нормаль к линии в точке проходит через точку и имеет угловой коэффициент, равный , то ее уравнение имеет вид

. (2)

6⁰. Дифференцирование элементарных функций

1. – : .

Доказательство. .

2. : .

Доказательство.

(*): .

Таким образом, .

3. : (частный случай п.2).

4. : .

Доказательство.

Таким образом, .

5. : (частный случай п.4).

6. : .

Доказательство.

Таким образом, .

7. : .

Доказательство.

Таким образом, .

8. : .

Доказательство.

Таким образом, .

9. : .

Доказательство.

Таким образом, .

10. : .

Доказательство. Пусть , тогда – обратная функция. Отсюда . Следовательно, по теореме о производной обратной функции:

Таким образом, .

Замечание. Корень берется со знаком “+”, потому что значения функции лежат в интервале , а в этом интервале положителен. При , т.е. для производной не существует, хотя сама функция в этих точках определена.

11. : .

Доказательство. Пусть , тогда – обратная функция. Следовательно:

Таким образом, .

12. : .

Доказательство. Пусть , тогда – обратная функция. Следовательно:

Таким образом, .

13. : .

Доказательство. Пусть , тогда – обратная функция. Следовательно:

Таким образом, .

14. : .

Доказательство. Пусть , тогда . Следовательно:

Таким образом, .

7⁰. Производная степенно-показательной функции

Определение. Функция вида

, ,

где и основание, и показатель изменяются вместе с независимой переменной, называется степенно-показательной.

Найдем ее производную .

1) Прологарифмируем данную функцию:

2) Продифференцируем полученное тождество. С одной стороны:

С другой стороны:

Следовательно:

Операция, состоящая в последовательном применении к функции сначала логарифмирования (по основанию ), а затем дифференцирования, называется логарифмическим дифференцированием, а ее результат

– логарифмической производной от функции .

Пример. . Найти .

Решение.

1) .

2) С одной стороны: ;

С другой стороны:

Следовательно, .

8⁰. Дифференцирование неявной функции

Определение. Неявной функцией независимой переменной называется функция, значения которой находятся из уравнения, связывающего и и не разрешенного относительно .

Уравнение функции, заданной неявно, имеет вид

. (3)

Пусть функция задана неявно уравнением (3). Тогда производную от этой функции можно найти, дифференцируя по обе части уравнения с учетом того, что есть функция от (определяемая этим уравнением).

Пример. Дана функция . Найти .

Решение. Функция задана неявно. Дифференцируем обе части уравнения по :

отсюда .

9⁰. Производные высших порядков

Допустим, что функция имеет производную в некотором интервале независимой переменной . Производная от (если она существует) называется производной второго порядка или второй производной от первоначальной функции и обозначается :

Таким же образом производной третьего порядка или третьей производной от функции называется производная от производной второго порядка.

Определение. Производной - го порядка называется производная от производной -го порядка

Все свойства, которые имеют место для первой производной функции, сохраняются и для второй производной и для производной -го порядка.

Пример.

, , , …,

10⁰. Основные теоремы для дифференцируемых функций

Теорема Ферма. Если функция непрерывна на отрезке и достигает своего наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке этого отрезка (т.е. ), то, если в точке существует производная , то она обязательно равна 0: .

Доказательство. Предположим, что функция непрерывна на отрезке и достигает своего наибольшего значения в точке , которая является внутренней точкой отрезка . Пусть функция дифференцируема в точке . Покажем, что . Действительно:

Существование означает, что в точке существуют оба односторонних предела функции , которые равны между собой. Рассмотрим эти пределы:

: ; (4)

: . (5)

. Из результатов (3) и (4) следует, что , следовательно, .

Геометрический смысл.

Касательная будет параллельна оси – геометрическое истолкование теоремы Ферма (рис. 18).

Теорема Ролля. Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале и при этом , т.е. принимает одинаковые значения на концах отрезка, то существует по крайней мере одна точка такая, что .

Доказательство. Рассмотрим два случая.

1) для любого ;

2) , тогда по свойству непрерывных функций достигает своего наибольшего и наименьшего значений на отрезке . Тогда хотя бы одно из этих значений достигается во внутренней точке отрезка . Обозначим эту точку через : . Функция дифференцируема на всем интервале , а значит и в точке . Следовательно, по теореме Ферма, .

Геометрический смысл

Если на концах отрезка функция дифференцируема и принимает одинаковые значения, то найдется хотя бы одна точка, где касательная параллельна оси – геометрическое истолкование теоремы Роля (рис. 19).

Теорема Лагранжа. Пусть функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале , тогда существует такая точка , что

Доказательство.

Рассмотрим функцию , которая, очевидно, непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале . Рассмотрим, какие значения функция принимает на концах отрезка.

Получили , следовательно, функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля. По теореме Ролля, существует точка : . Имеем:

Геометрический смысл.

На отрезке найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к кривой будет параллельна хорде, стягивающей концы дуги кривой ( – тангенс угла наклона хорды, которая стягивает концы кривой) (рис. 20).