Любое изменение независимой переменной , равное разности , называется приращением этой переменной.
Разность называется приращением функции на отрезке или , где .
Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, т.е.
.
Функция, имеющая в данной точке конечную производную, называется дифференцируемой в этой точке.
Пример 7.1. Пользуясь определением, найдите производную функции .
Придадим аргументу приращение . Тогда соответствующее приращение функции будет иметь вид
.
Отсюда
Таким образом, .
Теорема. Если функция дифференцируема в некоторой точке , то она непрерывна в этой точке.
Однако, обратное утверждение вообще говоря не верно. Существуют непрерывные, но не дифференцируемые функции. Например, при .