2015-01-21
370
Любое изменение независимой переменной 
, равное разности 
, называется приращением этой переменной.
Разность 
называется приращением функции на отрезке 
или 
, где 
.
Производной функции 
называется предел отношения приращения функции 
к приращению аргумента 
при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, т.е.
.
Функция, имеющая в данной точке конечную производную, называется дифференцируемой в этой точке.
Пример 7.1. Пользуясь определением, найдите производную функции 
.
Придадим аргументу приращение . Тогда соответствующее приращение функции будет иметь вид
.
Отсюда 
Таким образом, 
.
Теорема. Если функция дифференцируема в некоторой точке 
, то она непрерывна в этой точке.
Однако, обратное утверждение вообще говоря не верно. Существуют непрерывные, но не дифференцируемые функции. Например, 
при 
.
