II. Внецентренное сжатие (растяжение)

12 13 14 15 16 17 18

а_x

а_y

Рис.7.9

Эта деформация возникает обычно в вертикальных брусьях и колоннах при действии на них продольных сил

, приложенных в т. «Р» (полюс) не совпадающей с т. О – центром тяжести сечении (рис. 7.9). При переносе силы

в т. О брус нагрузится продольной силой

и изгибающим моментом

, причем все сечения бруса по его длине будут загружены одинаково.

Определение напряжений

Пусть на брус в т. «Р» с координатами и действует растягивающая сила (рис. 7.9). Перенесем силу сначала на ось (плечо ), а затем в т. О (плечо ). В итоге в поперечном сечении бруса возникнут:

(6)

В произвольной точке «В» сечения с координатами и найдем по (7.2)

(7)

Подставляя (6) в (7) получим

(7.9)

Учитывая, что и подставляя в (7.9)

(7.10)

В произвольных случаях нагружения в формулы (7.9) и (7.10) и надо подставлять со своими знаками в заданных главных центральных осях и . при растяжении бруса, при сжатии.

Эпюры в сечении строятся аналогично как при косом изгибе.

Нейтральная ось (Н.О)

Обозначим координаты точек на Н.О через . В этих точках . Подставляя и в (7.10) и сокращая на получим

(7.11)

Это уравнение Н.О. Видно, что это уравнение прямой ( и в первой степени), не проходящей через начало координат (т.к. при ). Положение Н.О удобно определять отрезками и , которые Н.О отсекает на осях координат (рис. 7.9) и проходит через т. «» и т. «». Допустим пока, что и . Точка «» в этом случае имеет координаты . Подставляем это в (7.11) получим

Отсюда

(7.12а)

Аналогично т. «». Подставляя найдем

Отсюда

(7.12в)

Из (7.12) видно, что при и получим и , т.е. наше допущение неверно и правильно Н.О показана на рис. 7.9.

Свойства нейтральной оси

Из формул (7.12) следует:

1. Положение Н.О не зависит от величины и знака .

2. Н.О и полюс т. «Р» лежат по разные стороны от центра тяжести сечения т. О.

3. При удалении полюса от т. О, Н.О приближается к нему и наоборот.

4. Если полюс расположен на одной из осей координат, то Н.О перпендикулярна к этой оси (при полюс на оси , , т.е. Н.О параллельна оси или перпендикулярна оси ).

5. При вращении Н.О вокруг произвольной точки «» на ней (рис. 7.9), полюс перемещается по прямой линии, не проходящей через т. О. Подставим в (7.11) . Получим уравнение, которое относительно координат и есть уравнение прямой не проходящей через т. О.

6. Н.О делит сечение на две зоны: растянутую и сжатую, заштрихованную на рис. 7.9 при .

Из соотношений (7.12) можно решить обратную задачу: зная положение Н.О (т.е. и ) найти положение полюса, т.е. и

(7.13)

Расчеты на прочность

Определив положение Н.О, проведем к контуру сечения касательные, параллельные Н.О. Получим т.1 с координатами и и т.2 с координатами и . Если в т. «Р» действует , то в т. 1 будут растягивающие (р), а в т. 2 сжимающие (сж). Обычно колонны изготавливают из хрупких материалов, поэтому прочность проверяется отдельно в растянутой и сжатой зонах по формулам (7.9) или (7.10):

(8)

При действии на колонну сжимающей силы в т. 1 будут , в т. 2 растягивающие.

Размеры сечения обычно определяются методом подбора: задают размеры, определяют положение Н.О, т.1 и т.2 и проверяют в них прочность по (8). Если эти условия не выполняются, меняют размеры сечения и снова проверяют.

Для брусьев с сечениями типа прямоугольника, двутавра или швеллера из пластичных материалов, у которых , первую попытку можно провести как при косом изгибе по второй формуле (7.8), определив и по (6), а пока не учитывать. Здесь подбор размеров сечения проводить так, как указано ниже формулы (7.8). Определив размеры сечения, делать проверку по (8) с учетом .

Ядро сечения

Для колонн из хрупких материалов (чугун, бетон, камень и т.д.), плохо работающих на растяжение желательно, чтобы от сжимающей силы во всех точках сечения были только сжимающие напряжения. Этого можно добиться, если Н.О не пересекает сечение колонны, а согласно свойства 3 Н.О. это получим, ограничивая удаление полюса «Р» от т. О.

Рис.7.10

Ядро сечения – это некоторая область вокруг ц.т. (т. О) сечения, внутри которой можно располагать полюс т. «Р», не вызывая в сечении колонны напряжений разных знаков (только знака

). Если полюс «Р» расположен на границе ядра сечения, то Н.О только касается контура сечения. На этом и основан порядок построения ядра сечения, показанный на рис. 7.10:

1. Даем Н.О все возможные положения, касательные к контуру сечения, учитывая симметрию сечения. Это Н.О (1) ¸ Н.О (4).

2. Для каждого положения Н.О (1) ¸ Н.О (3), т.е. вертикальных и горизонтальных, легко определить величины и знаки отрезков и (), зная размеры сечения и положение главных центральных осей .

Например, для Н.О (1) (Н.О (1) и ось параллельны), показан на рис. 7.10.

3. По формулам (7.13) вычисляем для каждого положения Н.О координаты полюса, т.е. и и определяем эти т.1 ¸ т.3 на рисунке сечения, выполненного в масштабе (рис. 7.10).

Для Н.О (4) – наклонной, определить и затруднительно. Поэтому здесь лучше использовать уравнение Н.О в виде (7.11). Н.О (4) проходит через т.т. «а» и «b» сечения, координаты которых и легко определить (величины и знаки). Подставляем их в (7.11) вместо и получим

(9)

Решаем эти два уравнения для вычисления и , это и будут координаты т. 4 на ядре. Из рис. 7.10 видно, что Н.О из одного положения в другое переводятся вращением вокруг точек сечения колонны, а согласно свойства 5 Н.О полюс при этом перемещается по прямой. Поэтому т.1 ¸ т.4 на рис. 7.10 надо соединить прямыми линиями. Получим половину ядра сечения, заштрихованную на рис. 7.10. Сечение колонны симметрично относительно оси , поэтому и ядро его сечения симметрично относительно оси (вторая половина ядра показана пунктиром).

Ядра сечений некоторых фигур

1. Прямоугольное сечение :

Рис.7.11

Ввиду двух осей симметрии

достаточно двух положений Н.О Н.О (1):

т.е. т.1 на оси . Н.О (2): , т.е. т.2 на оси . . Строим т.2., т.3 симметрична т.1, а т.4 симметрична т.2. Соединяем т.1¸т.4 прямыми линиями, получим ядро сечения в виде ромба с размерами и .