2015-01-30
16307
В предыдущей задаче найдено, что для неизолированного трубопровода потери теплоты с 1 м ql = 142 Вт/м. Для условий изолированного трубопровода потери теплоты с 1 с запишутся как
, Вт/м.
Решив это уравнение, относительно ln d 3/ d 2 найдем:
(a)
Уравнения такого вида удобнее всего решать графически, при этом можно обозначить левую часть
y 1 = ln d 3/ d 2
и правую часть
Задаваясь несколькими значениями d 3, графически находим то значение корня, которое будет удовлетворять уравнению (а).
1-41. По трубе диаметром d 1/ d 2 = 18/20 мм движется сухой насыщенный водяной пар. Для уменьшения тепловых потерь в окружающую среду трубу нужно изолировать Целесообразно ли для этого использовать асбест с коэффициентом теплопроводности l = 0,11 Вт/(м×К), если коэффициент теплоотдачи с внешней поверхности изоляции в окружающую среду a = 8 Вт/(м2×К)?
Ответ. Так как критический диаметр изоляции больше внешнего диаметра трубы (d кр.из > d 2), то такую изоляцию использовать нецелесообразно и следует применить изоляцию с меньшим коэффициентом теплопроводности.
1-42. Необходимо изолировать корпус теплообменного аппарата, имеющего внешний диаметр d н = 300 мм и температуру на поверхности t с = 280 °C, которую можно принять такой же и после наложения изоляции. Температура на внешней поверхности изоляции не должна превышать 30 °С, а тепловые потери с 1 м корпуса теплообменника - 200 Вт/м. Коэффициент теплоотдачи от внешней поверхности изоляции к окружающему воздуху a = 8 Вт/(м2×К). Целесообразно ли выбрать в качестве тепловой изоляции шлаковую вату, коэффициент теплопроводности которой зависит от температуры по уравнению l = 0,06 + 0,000145× t? Если целесообразно, то какой толщины должен быть слой этой изоляции для заданных условий?
Ответ.
1. Критический диаметр изоляции d кр = 20,5 мм, это значительно меньше внешнего диаметра корпуса, и поэтому такую изоляцию применять целесообразно.
2 Для обеспечения заданных условий необходимо наложить тепловую изоляцию толщиной d = 136 мм.
1-43. Электропровод диаметром d 1 = 1,5 мм имеет температуру t c1=70 °C и охлаждается потоком воздуха, который имеет температуру t ж = 15 °C. Коэффициент теплоотдачи от поверхности провода к воздуху a1 = 16 Вт/(м2×К). Определить температуру стенки t c1, которую будет иметь провод, если покрыть его каучуковой изоляцией толщиной d = 2 мм, а силу тока в проводе сохранить без изменений. Коэффициент теплопроводности каучука l=0,15 Вт/(м×К). Коэффициент теплоотдачи от поверхности изоляции к потоку воздуха a2 = 8,2 Вт/(м2×К).
Ответ. Температура изолированного провода t c1 = 44 °C. Таким образом, применение изоляции с d кр = 37 мм > d 1 приводит к более интенсивному отводу теплоты с поверхности и снижению температуры провода.
1-44. Определить толщину каучуковой изоляции на электропроводе, рассмотренном в задаче 1-43, при которой можно пропустить через провод наибольший ток при неизменной температуре провода t c1 = 70° С.
Ответ. d = 17,75 мм.
1-45. Температура воздуха в резервуаре измеряется ртутным термометром, который помещен в гильзу (стальную трубку), заполненную маслом (рис. 1-15). Термометр показывает температуру конца гильзы t l = 84 °C. Как велика ошибка измерения за счет отвода теплоты по гильзе путем теплопроводности, если температура у основания гильзы t 0 = 40 °С, длина гильзы l = 120 мм, толщина гильзы d = 1,5 мм, коэф-фициент теплопроводности мате-риала гильзы l = 55,8 Вт/(м×К) и коэффициент теплоотдачи от воздуха к гильзе a = 23,3 Вт/(м2×К).
Ответ. Истинная температура воздуха t ж = 100 °С; t ж – t l = 16 °C.
Рис. 1-15. К задаче 1-45
Решение. Для решения воспользуемся приближенной формулой для стержня конечной длины ul/u0=1/ch(ml), где
1/м;
периметр гильзы u = p× d, сечение гильзы f = p× d× d, откуда u / f»1/d; тогда
1/м;
m×l =16,7×0,12 = 2.
Из математических таблиц находим ch(2,0) = 3,76, следовательно,
(t ж- t 1)/(t ж- t 0) = 1/3,76 = 0,266
и температура воздуха в резервуаре
t ж = (tl - 0,266× t 0)/(1 - 0,266) = (84 - 0,266×40)/0,734 = 100 °C.
Ошибка измерений
t ж – tl = 100 - 84 = 16 °С.
1-46. Какую температуру будет показывать термометр и на сколько уменьшится ошибка измерения, если в условиях задачи 1-45 гильзу выполнить из нержавеющей стали с коэффициентом теплопроводности l = 23,3 Вт/(м×К), длиной l = 160 мм, толщиной d = 0,8 мм и за счет улучшения изоляции места заделки гильзы температура у ее основания повысится до t 0 = 70 °С?
Ответ. tl = 99,8 °С; t ж– tl = 0,2 °C.
1-47. Для лучшего охлаждения внешней поверхности полупроводникового холодильника внешняя поверхность боковых стенок камеры выполнена ребристой с вертикальными алюминиевыми ребрами (рис. 1-16). В плане камера квадратная. Ширина боковых стенок b = 800 мм, высота h = 1000 мм, высота и толщина ребер соответственно l = 30 мм и d = 3 мм. Каждая стенка имеет по 40 ребер. Температура у основания ребра t 0 = 30 °С; температура окружающей среды t ж = 20 °С; коэффициент теплопроводности алюминия l = 202 Вт/(м×К); коэффициент теплоотдачи от ребристой стенки к окружающему воздуху a = 7 Вт/(м2×К). Вычислить температуру на конце ребра tl и количество теплоты, отдаваемое четырьмя боковыми
стенками Q p.c.. Вычислить также количество теплоты, которое отдавалось бы в окружающую среду неоребренными стенками при тех же условиях, Q c.
Ответ. tl = 29,8 °C, Q p.c = 848 Вт; Q c = 223 Вт.
1-48. Нагревательный прибор выполнен в виде вертикальной трубы с продольными стальными ребрами прямоугольного сечения (рис. 1-17). Высота трубы h = 1200 мм; наружный диаметр трубы d 2 = 60 мм; длина ребер l = 50 мм и толщина ребер d = 3 мм, общее число ребер n = 20. Температура у основания ребра t 0 = 80 °С; температура окружающего воздуха t ж = 18 °С. Коэффициент теплоотдачи от ребер и внешней поверхности трубы к окружающему воздуху a = 9,3 Вт/(м2×K); коэффициент теплопроводности стенки l = 55,7 Вт/(м×К). Вычислить количество теплоты, отдаваемой ребристой стенкой в окружающую среду.
Ответ. Количество теплоты, отдаваемой ребрами, Q р = 1270 Вт. Количество теплоты, отдаваемой гладкой поверхностью Q с = 88 Вт. Всей ребристой стенкой передается Q р.с = 1358 Вт.
Рис. 1-16. К задаче 1-47. Рис. 1-17. К задаче 1-48.
1-49. Водяной экономайзер системы ЦКТИ выполнен из круглых ребристых чугунных труб наружным диаметром d = 76 мм. Диаметр ребер D = 200 мм, их толщина d = 5 мм. Определить количество теплоты, которое будет передаваться от горячих газов к внешней поверхности одной трубы, и температуру на конце ребра, если температура газов t ж = 400 °С, температура у основания ребер t 0 = 180°С, длина обогреваемой части трубы l = 3 м и количество ребер по длине трубы n = 150. Коэффициент теплоотдачи от газов к ребристой поверхности a=46,5 Вт/(м2×К); коэффициент теплопроводности чугуна l = 52,4 Вт/(м×К).
Ответ. Количество теплоты, передаваемой ребрами, Q p = 50 кВт. Количество теплоты, передаваемой гладкой поверхностью между ребрами, Q c = 5,5 кВт; общее количество передаваемой теплоты Q р.с = 55,5 кВт.
Решение. Если пренебречь теплоотдачей с торца ребра, то формулы для избыточной температуры конца ребра и количества теплоты, передаваемой через одно ребро, имеют вид:
Q pl = 2p r 1×l×d× m ×u1×y,
где
В нашем случае
1/м;
r 1 = d /2 = 76/2 = 38 мм; r 2 = 100 мм;
mr 1 = 18,9×0,038 = 0,719, mr¢ 2 = 18,9×0,1025 = l,94, где теплоотдача с торца приближенно учтена увеличением r 2 на половину толщины ребра: r ¢2 = r 2 + d/2 = 0,10 + 0,0025 = 0,1025 м. Подставляя полученные значения mr 1 и mr ¢2 в выражение для избыточной температуры конца ребра, получаем:
u2 = 102,5,
откуда температура конца ребра
tl = t ж –u2 = 400 –102,5 = 297,5 °С.
Для определения количества теплоты, передаваемой одним ребром, подсчитываем функцию y = 1,295, и
Q pl = 2p×0,038×52,4×18,9×0,005×220×1,295 = 337 Вт;
для 150 ребер Q p = nQ pl = 150×337 = 50 кВт,
Количество теплоты, отдаваемой гладкой поверхностью между ребрами,
Q c= a×u1×2p× r 1× (l – n d) = 46,5×220×2p×0,038 (3 - 150 × 0,005) = 5,5 кВт.
Общее количество передаваемой теплоты
Q рс = Q р + Q c = 50 + 5,5 = 55,5 кВт.
1-50. Решить задачу 1-49 по упрощенной методике, воспользовавшись зависимостью для прямых ребер. Для решения задачи воспользоваться графиком на рис, 1-18.
Ответ. Q p1 = 341 Вт.
Решение. Определяем высоту прямого ребра:
h = r 2 – r 1 + d/2 = 100 -38 + 5/2 = 64,5 мм.
Из задачи 1-49 имеем m = 18,9, тогда
mh = 18,9 × 0,0645 = 1,22.
Определяем отношение избыточных температур конца и основания ребра:
u2/u1=1/ch (mh) =1/ ch (1,22) = 0,543;
r 2/ r 1 = 100/38 = 2,64.
Зная отношения u2/u1 и r 2/ r 1, по графику на рис. 1-18 находим поправочный коэффициент e¢¢=0,836. Он представляет собой отношение расходов теплоты с единицы поверхности круглого и прямого ребер одинаковой толщины
e¢¢ = q p1/ q = Q p1 × F / F p1 × Q.
Количество теплоты, воспринимаемой прямым ребром длиной l = 1 м и сечением f = d l = 5×10-3 × l = 0,005 м2,
Q = l× m×f× u× th (mh) = 52,3×18,9×1×0,005×220× th (1,22) = 978 Вт.
Площадь поверхности такого ребра
F = 2 h × l = 0,0645×1×2 = 0,129 м2,
Q = Q / F = 978/0,129 = 7580 Вт/м2.
Площадь поверхности круглого ребра
F р1 = 2p (0,12- 0,0382) = 0,0537 м2.
Искомое количество теплоты, воспринимаемой круглым ребром,
Q р1 = e¢¢ qF p1 = 0,836 × 7580 × 0,0537 = 341 Вт.
1-51. Воздухоподогреватель выполнен из элементов, состоящих из овальных чугунных труб. Ребра имеют трапециевидное сечение и расположены вдоль образующей на внутренней поверхности трубы (рис 1-19).
Рис. 1-18. К задаче 1-50 Рис. 1-19. К задаче 1-51
Определить количество теплоты, отдаваемой с поверхности ребра трубы длиной l = 2500 мм. Высота ребра h = 30 мм, толщина ребра у поверхности трубы d1 = 3 мм, толщина конца ребра d2 = 1 мм. Коэффициент теплопроводности чугуна l = 52,3 Вт/(м×К)
Температура у основания ребра t 0 = 450 °С; температура воздуха t ж = 350 °С. Коэффициент теплоотдачи от поверхности ребра к воздуху l= 23,3 Вт/(м×К). Определить также температуру конца ребра. Расчет произвести по точным формулам. Учет теплоотдачи с торцов ребра учесть путем увеличения его высоты на половину толщины.
Ответ. Q p = 312 Вт; tl = 435 °С.
Решение. Если пренебречь теплоотдачей с торца ребра, то формулы для избыточной температуры конца ребра и количества передаваемой теплоты имеют вид:
,
где
,
Z 1= a× x 1/(l× tg j); Z 2 = a× x 2/(l×tg j).
В рассматриваемой задаче
tg j = 0,5(d1-d2)/ h = 0,5(3-1)/30 = 1/30;
x 1 = 0,5d1/tg j = 0,5×3×30 = 45 мм;
x 2 = x 1- h = 45-30 = 15 мм;
Z 1 = a× x 1/(l×tg j) =23,3×0,045×30/52,3 = 0,59;
Z2 = 23,3×0,015×30/52,3 = 0,2;
.
Подставив полученные значения в выражения для избыточной температуры конца ребра, получим:
В этом случае температура конца ребра tl = 85 + 350 = 435 °С. Для определения количества теплоты, отдаваемой ребром, подсчитываем функцию y.
тогда
1-52. Решить задачу 1-51 по упрощенной методике расчета ребер трапециевидного сечения. Для решения задачи использовать график па рис. 1-20.
Ответ. Q p = 312 Вт.
Рис. 1-20. К задаче 1-52.
1-53. Электрический нагреватель выполнен из нихромовой проволоки диаметром d = 2 мм и длиной l = 10 м. Он обдувается холодным воздухом с температурой t ж = 20 °С. Вычислить тепловой поток с 1 м нагревателя, а также температуры на поверхности t c на оси проволоки t 0, если сила тока, проходящего через нагреватель, составляет 25 А. Удельное электрическое сопротивлепие нихрома r= 1,1 Ом×мм2/м; коэффициент теплопроводности нихрома l = 17,5 Вт/(м×К) и коэффициент теплоотдачи от поверхности нагревателя к воздуху a = 46,5 Вт/(м2×К).
Ответ. ql = 218,5 Вт/м; t 0 = 770 °С; t c = 769 °С.
Решение. Электрическое сопротивление нагревателя
R = r l /p r 2 = 1,1×10/3,14×1 = 3,5 Ом.
Количество теплоты, выделяемой нагревателем,
Q = I 2 R = 252×3,5 = 2185 Вт.
Тепловой поток на 1 м проволоки
ql = Q / l = 2185/10 = 218,5 Вт/м.
Температура поверхности проволоки определяется из условий теплоотдачи:
t c = t ж+ ql /(p d× a) = 20 + 218,5/3,14×0,002×46,5 = 769 °C.
Температура на оси проволоки определяется из условий теплопроводности при наличии внутренних источников теплоты:
t 0 = t c + ql /(4pl) = 769 + 218,5/(4×3,14×17,5) = 770 °C
1-54. По нихромовому стержню диаметром d = 5 мм и длиной l = 420 мм проходит электрический ток. Разность потенциалов на концах стержня U = 10 В. На поверхности стержня кипит вода под давлением р = 5×105 Па. Определить объемную производительность внутренних источников теплоты q u Вт/м3, плотность теплового потока на поверхности стержня q, Вт/м2, тепловой поток на единицу длины стержня ql, Вт/м, и температуры на поверхности и на оси стержня, если коэффициент теплоотдачи от поверхности стержня к кипящей воде a = 44400 Вт/(м2×К). Удельное электрическое сопротивление нихрома r= 1,17 Ом×мм2/м. Коэффициент теплопроводности нихрома l = 17,5 Вт/(м×К).
Ответ. q u = 4,83×108 Вт/м3; q = 6,08×105 Вт/м2, ql = 9540 Вт/м;
t c = 164,7°С; t 0 = 208,2 °С.
1-55. Тепловыделяющий элемент ядерного реактора выполнен из смеси карбида урана и графита в виде цилиндрического стержня диаметром d = 12 мм Объемная производительность источников теплоты q u = 3,88×108 Вт/м3 Источники можно считать равномерно распределенными по объему. Теплопроводность материала стержня l = 58 Вт/(м×К). Определить температуру и плотность теплового потока на поверхности тепловыделяющего элемента, если его максимальная температура 2000°С.
Ответ. t c = 1940° С; q = 1,16×106 Вт/м2.
1-56. Длительная допустимая нагрузка для стальных шин прямоугольного сечения 100´3 мм, установленных па ребро, не должна превышать 300 A. Максимальная температура шины при температуре окружающего воздуха t ж = 25 °С должна быть не выше t 0 = 70 °C. Вычислить температуру на поверхности шины и определить, каким должен быть коэффициент теплоотдачи с ее поверхности, чтобы температура шины не превышала максимально допустимого значения (t 0 = 70 °С). Коэффициент теплопроводности стали l = 64 Вт/(м×К). Удельное электрическое сопротивление стали r= 0,13 Ом×мм2 /м.
Ответ. t c» t 0 = 70 °С; a = 4,3 Вт/(м2×К).
1-57. По электрическому нагревателю, выполненному из константановой ленты сечением 1´6 мм и длиной 1 м, протекает электрический ток 20 А. Падение напряжения на концах нагревателя 200 В. Определить температуры поверхности ленты и середины по ее толщине, если коэффициент теплоотдачи на поверхности нагревателя a = 1000 Вт/(м2×К), температура среды t ж = 100 °С и коэффициент теплопроводности константана l = 20 Вт/(м×К).
Ответ. t c = 433 °С; t 0 = 437 °С.
1-58. Трубка из нержавеющей стали внутренним диаметром d 1 = 7,6 мм и наружным диаметром d 2 = 8 мм обогревается электрическим током путем непосредственного включения в электрическую цепь. Вся теплота, выделяемая в стенке трубки, отводится через внутреннюю поверхность трубки. Вычислить объемную производительность источников теплоты и перепад температур в стенке трубки, если по трубке пропускается ток I = 250 А. Удельное электрическое сопротивление и коэффициент теплопроводности стали равны соответственно r= 0,85 Ом×мм2/м, l = 18,6Вт/(м×К).
Ответ. q u = 2,22×109 Вт/м3; t c2 – t c1 » 2,4 °C.
Решение. Электрическое сопротивление на единицу длины трубки
Rl = r/(p(r 22- r 12))=0,85/(3,14(42-3,82)) = 0,174Вт/м.
Тепловой поток на единицу длины
ql = I 2 Rl = 2502× 0,174 = 10870 Вт/м.
Объемная производительность внутренних источников теплоты
q u= ql /(p(r 22– r 12)) = 10870/(3,14(42 – 3,82))×10-6 = 2,22×109 Вт/м3.
Перепад температур в стенке трубки
1-59. Трубка из нержавеющей стали обогревается электрическим током путем непосредственного включения в электрическую цепь. Длина трубки l = 500 мм, наружный и внутренний диаметры равны соответственно d 2 = 12,4 мм и d 1 = 12 мм. Вся теплота, выделяемая в стенке трубки, отводится через внешнюю поверхность трубки.
Определить перепад температур в стенке и силу тока, пропускаемого по трубке, если тепловой поток, отводимый от внешней поверхности трубки, Q = 14 кВт. Удельное электрическое сопротивление и коэффициент теплопроводности материала трубки равны соответственно r= 0,85 Ом×мм2 /м и l = 18,6 Вт/(м×К).
Ответ. t c1- t c2 = 4,0 °С; I = 502 А.
1-60. Пластина с равномерно распределенными внутренними источниками теплоты симметрично охлаждается с обеих поверхностей. Температура охлаждающей жидкости равна t ж. В этих условиях температуры на поверхностях t c1 = t c2 = t c, а максимальная температура в середине пластины равна t 0. Определить, чему будут равны температуры t c1 и t c2 на поверхностях пластины, если прекратится отвод теплоты через одну из поверхностей (q c2 = 0).
Ответ. t c1 = t ж + 2(t c – t ж) = 2 t c – t ж;
t c2 = t ж + 4 t 0 – 2(t c + t ж) = 4 t 0 – (2 t c + t ж).
1-61. В пластине толщиной s = 6 мм, выполненной из материала с коэффициентом теплопроводности l = 20 Вт/(м×К), действуют равномерно распределенные внутренние источники теплоты q u. Температуры на поверхностях пластины соответственно равны t c1 = 120 °C и t c2 = 127,2 °С. Определить относительную координату значение максимальной температуры пластине t 0, а также плотности теплового потока на поверхностях пластины q c1 и q c2, если q u = 5×107; 2×107;8×106 и 4×106 Вт/м3.
Ответ. При q u =5×107 Вт/м3: x 0/ s =0,58, t 0» 135 °С; q c2 = 1,26×105, q c1= l,74×105 Вт/м2. При q u= 2×107 Вт/м3: x 0/ s = 0,7, t 0 » 130 °С; q c2 = 3,6×104 и q c1=1,74× 105 Вт /м2. При q u = 8×106 Вт/м3: x 0/ s = 1,0; t 0 = t c2 = =127,2 °C, q c2 = 0, а q c1 = q u s = 4,8×104 Вт/м2. При q u = 4×106 Вт/м3: x 0/ s = 1,5; q c2= -1,2×104 Вт/м2 и q c1= 3,6×104 Вт/м2.
Характер распределений температур приведен на рис. 1-21.
Решение. Если расположить начало координат так, как показано на рис. 1-21, уравнение температурного поля в пластине имеет вид:
t - t c1 = q u× x (2 x 0- x)/2l
где
x 0/ s = 1/2 + l(t c2 - t c1)/(q u s 2),
а максимальная температура
t 0 = t c1 + q u x 02/(2l)
При q u= 5×107 Вт/м3
x 0/ s = 1/2 + 20(127,2-120)/5×107(6×10-3)2 = 0,58;
x 0 = 0,58 s = 0,58×6 = 3,48 мм;
t 0 = 120 + 5×107(3,48×10-3)2/(2×20)»135 °C;
q c1 = q u x 0=5×107×3,48×10-3 = 1,74×105 Вт/м2;
q c2 = q u(s - x 0) = 1,26×105 Вт/м2.
Для других значений q u расчеты проводятся аналогичным образом. При q u = 8×106 Вт/м3 x 0/ s = l, т. е максимум температур располагается на поверхности пластины с температурой t 0 = t c2 = 127,2 °С, q c2 = 0 и вся теплота, выделяемая в пластине, отводится через другую поверхность: q c1= q u x 0 = q u s. При q u = 4×106 Вт/м3 температура имеет фиктивный максимум вне пластины (x 0 > s) и теплота к одной из поверхностей пластины подводится извне, т. е. происходит передача теплоты через стенку: q c2 = q u(s - x0)= -1,2×104 Вт/м2. Рис.1-21.К задаче 1-61.
Через другую поверхность отводится q c1= q u x 0 = q u s + | q 2| = 2,4×104 + 1,2×104 Вт/м2. Распределения температур приведены на рис. 1-21.
1-62. Определить значение t 0 и координату х 0 максимальной температуры в пластине с равномерно распределенными внутренними источниками теплоты q u = 8×106 Вт/м3. Толщина пластины s = 10 мм, коэффициент теплопроводности материала пластины l = 20 Вт/(м×К) Температуры на поверхностях пластины равны соответственно t c1 = 80 °C и t c2 = 86 °C.
Ответ. t 0 » 88,5 °C, отсчитанная от поверхности с температурой t c1 координата x 0 = 6,5 мм.
1-63. В пластине толщиной s = 5 мм действуют равномерно распределенные внутренние источники теплоты q u= 2,7 ×107 Вт/м3. Коэффициент теплопроводности материала пластины l = 25 Вт/(м×К). Коэффициенты теплоотдачи от поверхностей пластины к обтекающей их жидкости a1 = 3000 Вт/(м2×К) и a2 = 1500 Вт/(м2×К), а температуры жидкости соответственно равны t ж1 = 130 °С и t ж2= 140 °С. Определить координату и значение максимальной температуры в пластине x 0 и t 0, а также температуры на поверхностях пластины t c1 и t c2.
Ответ. x 0 = 3,5 мм; t 0 = 168,1 °C; t c1 = 161,5 °C; t c2 = 167 °С.
Решение. Относительная координата максимальной температуры в пластине при q u = const, l = const, несимметричном температурном поле и граничных условиях третьего рода
где x 0 отсчитывается от поверхности, обтекаемой жидкостью с температурой t ж1.
В рассматриваемом случае
х 0 = 0,7×5 = 3,5 мм.
Температуры на поверхностях пластины
t c1 = t ж1 + q c1/a1 = t ж1 + q u x 0/a1 = 161,5 °C;
t c2 = t ж2 + q c2/a2 = t ж2 + q u(s - x 0)/a2 = 167 °C.
Максимальная температура
t 0 = t c1 + q c1 x 0/(2l) = t c1 + q u x 02/(2l) = 168,1 °C.
1-64. Пластина с равномерно распределенными внутренними источниками теплоты q u, Вт/м3 обтекается с двух сторон жидкостью. Толщина пластины s, м, коэффициент теплопроводности ее материала l, Вт/(м×К). Температура жидкости со стороны одной из поверхностей равна t ж1, °С, и коэффициент теплоотдачи от этой поверхности к жидкости равен a1, Вт/(м2×К). Определить значение температуры жидкости со стороны другой поверхности t ж2, при которой тепловой поток через эту поверхность будет равен нулю (q c2 = 0).
Ответ. t ж2 = t ж1 + q u s (s /(2l) + 1/a1).
1-65. Пластина с равномерно распределенными внутренними источниками теплоты, равными q u, Вт/м3 обтекается с обеих сторон жидкостью Коэффициенты теплоотдачи от поверхностей пластины к жидкости и температуры жидкости равны соответственно a1 и a2, Вт/(м2×К), t ж1 и t ж2, °С Толщина пластины s, м, коэффициент теплопроводности ее материала l, Вт/(м×К):
а) Определить соотношение между разностью температур t ж2- t ж1 и коэффициентами теплоотдачи a1 и a2 для случая, когда максимум температуры находится в середине пластины x 0/ s = l/2.
б) Определить, чему равна разность t ж2- t ж1
при x 0/ s = l/2, если a2 = 2a1.
в) Найти выражение для x 0/ s при равенстве температур t ж2 = t ж1 и a2 = 2a1.
Ответ.
a) t ж2 - t ж1 = q u s (1/a1 -1/a2)/2;
б) t ж2 - t ж1 = q us/(4a1);
в) x 0/ s = (a1 s + l)/(2a1 s + 3l).
1-66. Рассчитать распределение температуры в поперечном сечении тепловыделяющего элемента (твэла), имеющего форму длинного полого цилиндра (рис. 1-22) с внутренним диаметром d 1 = 16мм и наружным
диаметром d 2 = 26 мм, выполненного из урана [l=31 Вт/(м×К)].
Обе поверхности твэла покрыты плотно прилегающими оболочками из нержавеющей стали [lоб = 21 Вт/(м×К)] Рис. 1-22 К задаче 1-66
толщиной d=0,5 мм.
Объемную плотность тепловыделения в уране принять равномерной по сечению и равной q u=5×l07 Вт/м3.Твэл охлаждается двуокисью углерода (СО2), движущейся по внутреннему и внешнему каналам. Среднемассовая температура CO2 во внутреннем канале t ж1 = 200 °C и во внешнем канале t ж2 = 240 °С. Коэффициенты теплоотдачи от поверхностей оболочек к газу соответственно равны a1 = 520 Вт/(м2×К) и a2 = 560 Вт/(м2×К). В результате расчета определить максимальную температуру твэла t 0, температуры на поверхностях оболочек t c1 и t c2 и на поверхностях урана t 1 и t 2 Распределение температуры показано на рис. 1-22.
1-67. Определить максимальную температуру твэла при условиях задачи 1-66, если а) внутренний канал по какой-либо причине перестал охлаждаться; б) внешний канал перестал охлаждаться.
Ответ. a) t 1 = t 2 » 610 °C; б) t 2 = t 0 » 904°С, что недопустимо ни для урана, ни для оболочки.
Решение. а) Если внутренний канал перестал охлаждаться, то q 1 = 0 и максимальная температура будет при r 0 = r 1. В этих условиях
Вт/м2;
t 2 = t ж2 + q 2/aэф2 = 240 + 353 = 593°C;
t 0 = t 1 = t 2 + q u/4l×[(r 22- r 12) -2 r 12ln(r 2/ r 1)] = 593 + 17,4» 610 °C.
б) Если внешний канал перестал охлаждаться, то q 2 = Q и r 0 = r 1, тогда
q 1 = q u r 1/2×(r 22/ r 12 -1) = 3,28×105 Вт/м2;
t 1 = t ж1 + q 1/aэф1 = 200 + 680 = 880 °C;
t 0 = t 2 = t 1 + (q u/4l)×[2 r 22 ln (r 2/ r 1)-(r 22- r 12)] = 880 + 23,8» 904 °C;
1-68. Тепловыделяющий элемент, имеющий форму полого цилиндра с внутренним диаметром d 1 =14 мм и наружным диаметром d 2 = 24 мм, выполнен из урана [l = 31 Bт/(м×К)]. Обе поверхности твэла покрыты плотно прилегающими оболочками из нержавеющей стали [lоб = 21 Вт/(м×К)] толщиной 0,5 мм. Объемную плотность тепловыделения в уране принять равномерной по сечению и равной q u=2×108 Вт/м3. Твэл охлаждается водой, движущейся по внутреннему и внешнему каналам. Среднемассовая температура воды во внутреннем канале t ж1 = 200 °С и во внешнем канале t ж2 = 220 °С. Коэффициенты теплоотдачи от поверхностей оболочек к воде соответственно равны: a1 = 8200 Вт/(м2×К) и a2 = 7800 Вт/(м2×К). Определить максимальную температуру в поперечном сечении твэла t 0, плотности теплового потока и температуры на поверхностях оболочек q c1, q c2, t c1 и t c2 и на поверхностях урана q 1, q 2, t 1 и t 2.
Ответ. t 0 = 308 °С; q c1 = 6,05×105 Вт/м2; q c2 = 4,44×105 Вт/м2;
t c1 » 274 °C; t c2 » 277 °С; q 1 = 5,62×105 Вт/м2;
q 2 = 4,63×105 Bт/м2; t 1 » 287 °С; t 2 » 288 °С.
1-69. Определить максимальную температуру твэла в условиях задачи 1-68, если внутренний канал по какой-либо причине перестал охлаждаться.
Ответ: t 1 = t 0 = 404 °С.
Вопросы:
1. Температурное поле.
2. Тепловой поток. Закон Фурье.
3. Температурный градиент.
4. Коэффициент теплопроводности.
5. Дифференциальное уравнение теплопроводности.
6. Граничные условия для процессов теплопроводности.
7. Передача теплоты через плоскую стенку.
8. Передача теплоты через цилиндрическую стенку.
9. Критический диаметр цилиндрической стенки.
10. Передача теплоты через шаровую стенку.
11. Теплопроводность в стержне постоянного сечения.
12. Теплопроводность при наличии внутренних источников теплоты.
ГЛАВА ВТОРАЯ
