Однослойная стенка

Постановка задачи. Рассмотрим однородную изотропную цилиндрическую стенку с внутренним радиусом и наружным – . Коэффициент теплопроводности материала стенки const.

На внутренней поверхности стенки поддерживается температура const, а на наружной – const (т.е. заданы граничные условия первого рода). Высота стенки (по оси z) бесконечно большая. В этих условиях температурное поле будет одномерным. Необходимо найти закон изменения температуры , плотность теплового потока и тепловой поток через цилиндрическую стенку.

Для нахождения температурного поля запишем дифференциальное уравнение теплопроводности в цилиндрических координатах, учитывая, что ¶t/¶t = 0, так как задача стационарная. и (температура по полярному углу и высоте стенки не изменяется).

.

Для решения уравнения (1.30) обозначим , тогда . Разделяя переменные и интегрируя, получаем , или . Возвращаясь к первоначальной переменной , разделяя переменные и интегрируя, получим общее решение уравнения (1.30)

.

Для определения постоянных интегрирования и запишем граничные условия:

при , ,

при , .

Решая систему, находим и , подстановка значений которых позволяет получить закон изменения температуры по толщине цилиндрической стенки: .

Видно, что температура в стенке изменяется по логарифмическому закону.

Тепловой поток через цилиндрическую стенку длиной l можно найти по закону Фурье .

Производная . Тогда или после сокращения на текущий радиус r и умножения числителя и знаменателя на минус единицу получим

.

Тепловой поток, отнесенный к единице длины цилиндрической стенки (трубы), называется линейной плотностью теплового потока и обозначается, Вт/м:

Многослойная стенка