Частные случаи уравнения теплопроводности

1. Дифференциальное уравнение теплопроводности без внутренних источников теплоты ( = 0 ):

.

2. Дифференциальное уравнение теплопроводности без внутренних источников теплоты в цилиндрических координатах.

В цилиндрических координатах, в которых где r – радиус-вектор, – полярный угол, уравнение будет иметь вид

.)

Условия однозначности для процессов теплопроводности. Дифференциальное уравнение теплопроводности описывает не одно, а целый класс явлений теплопроводности. Для получения аналитического описания конкретного процесса необходимо указать его частные особенности, которые совместно с дифференциальным уравнением дают полное математическое описание конкретного процесса теплопроводности и называются условиями однозначности или краевыми условиями.

Условия однозначности включают в себя:

• геометрические условия, характеризующие форму и размеры тела, в котором протекает процесс;

• физические условия, характеризующие физические свойства среды и тела;

• временные или начальные условия, характеризующие распределение температуры в теле в начальный момент времени;

• граничные условия, характеризующие условия взаимодействия между рассматриваемым телом и окружающей средой.

Граничные условия могут быть заданы несколькими способами.

Граничными условиями первого рода задается распределение температуры на поверхности тела для каждого момента времени:

.

Граничными условиями второго рода задаются значения теплового потока для каждой точки поверхности тела и любого момента времени:

.

Граничными условиями третьего рода задаются температура окружающей среды и закон теплообмена между телом и средой, в качестве которого используют закон теплоотдачи (уравнение Ньютона-Рихмана):

.

Согласно этому закону плотность теплового потока на поверхности

тела пропорциональна разности температур между поверхностью стенки и окружающей средой. Коэффициент пропорциональности в этом уравнении называют коэффициентом теплоотдачи и обозначают a, [Вт/(м²×К)]. Он характеризует интенсивность теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой.

С другой стороны, эту же плотность теплового потока можно найти из уравнения:

,

где индекс «с» указывает на то, что градиент температуры рассчитывается на поверхности тела. Получаем аналитическое выражение для граничных условий третьего рода:

.

Граничными условиями четвертого рода рассматривается случай, когда два или большее количество тел плотно соприкасаются между собой. В этом случае тепловой поток, прошедший через поверхность одного тела, пройдет и через поверхность другого тела (тепловые потери в месте контакта отсутствуют).

Лекция 2. Раздел 2. Теплопроводность при стационарном режиме