Однослойная плоская стенка

Постановка задачи. Имеется однородная изотропная стенка толщиной d с постоянным коэффициентом теплопроводности. Заданы граничные условия первого рода, т.е. температуры на внутренней и наружной поверхностях стенки: при при . По осям и размеры стенки бесконечно большие (более чем на порядок превосходят размер стенки по оси ). При таких условиях температура в стенке будет изменяться лишь в направлении оси х.

Требуется найти закон распределения температуры по толщине стенки t = ¦(x) и получить выражения для определения плотности теплового потока (q) и теплового потока (Q).

Для нахождения закона распределения температуры по толщине стенки воспользуемся дифференциальным уравнением теплопроводности, с учетом того, что (задача cтационарная), и (температура по осям у и z не изменяется, так как размеры стенки по этим осям бесконечно большие). При этих условиях уравнение упрощается:

или

так как в этом случае частные и полные производные совпадают. Решая данное уравнения, получаем

где постоянные интегрирования находятся из граничных условий:

при ; при . Подставляя последовательно эти

условия, находим постоянные интегрирования = , и получаем закон распределения температуры по толщине плоской стенки:

Выражение показывает, что температура по толщине стенки изменяется по линейному закону.

Плотность теплового потока определяется по закону Фурье. Градиент температуры находится из уравнения: Подставляя это выражение в закон Фурье, получаем формулы для плотности теплового потока () и теплового потока ()