Обратная матрица

Пусть А – квадратная матрица. Обратной к ней называется такая матрица А ^{– 1} , что (единичная).

По свойству 6 определителей , поэтому . Значит, если| A | = 0, то для такой матрицы обратной найти невозможно. Матрицы А, у которых | A | = 0, называются вырожденными. Если же , то матрица называется невырожденной.

Научимся находить обратную для невырожденной матрицы. Для этого построим матрицу А^*, составленную из алгебраических дополнений:

.

Здесь А_ij – алгебраическое дополнение к элементу a_ij, т.е. минор с учётом знака.

Теорема 2. Если А – невырожденная квадратная матрица, , то для

неё существует обратная матрица, которую можно найти по формуле:

.

Для невырожденной матрицы А имеется только одна обратная матрица А ^{– 1} – та, которую мы построили. Действительно, если В какая–либо другая матрица со свойством: АВ = Е, то В = (А ^{– 1} А)В = А ^{– 1} (АВ) = А ^{– 1} Е = А ^{– 1} ,т.е. В = А ^{– 1} .