Критерий Рауса

Практически одновременно с Гурвицем английский математик Э. Раус предложил свой алгебраический критерий устойчивости САУ, описываемых дифференциальными уравнениями n – ного порядка. Критерий Рауса сформулирован таким образом – система устойчива, если все коэффициенты первого столбца таблицы Рауса положительные. Если не все коэффициенты первого столбца положительные, то система неустойчива, а количество положительных корней характеристического уравнения равно числу перемен знака в первом столбце таблицы.

При составлении таблицы Рауса применяются следующие правила:

1. В первой строке таблицы необходимо записать коэффициенты характеристического уравнения с четными индексами в порядке их возрастания.
2. Во второй строке таблицы необходимо записать коэффициенты характеристического уравнения с нечетными индексами в порядке их возрастания
3. Следующие строки таблицы заполняются по формуле:

c_k,i = c_{k+ 1,i - 2} - r_i c_{k + 1,i – 1} , где r_i = c_{1,i – 2} / c_{1,i – 1} , i 3 - номер строки,

k - номер столбца.

1. Строк в таблице на одну больше, чем порядок характеристического уравнения.

Ri	i\k
-	1	c11 = a0	c21 = a2	c31 = a4	...
-	2	c12 = a1	c22 = a3	c32 = a5	...
r3 = c11/cc12	3	c13 = c21-r3c22	c23 = c31-r3c32	c33 = c41-r3c42	...
r3 = c11/c12	4	c14 = c22-r3c23	c24 = c32-r4c33	c34 = c42-r4c43	...
...	...	...	...	...	...

Рис.64. Образец заполнения таблицы Рауса

Достоинство критерия Рауса в простоте его использования независимо от порядка характеристического уравнения.

Недостаток критерия Рауса в его малой наглядности, трудности определения степени устойчивости системы, как далеко она находится от границы устойчивости.

Примеропределения устойчивости САУ по критерию Рауса

Необходимо определить устойчивость САУ, ее структурная схема на рисунке 65.

Рис.65. Структурная схема САУ

Обозначения в структурной схеме:

К_изм - передаточный коэффициент измерительного устройства; К_фчв, Т_ф – передаточный коэффициент и постоянная времени фазочувствительного выпрямителя; К_у - коэффициент усиления электронного усилителя; К_эму Т_э - коэффициент передачи и постоянная времени электромашинного усилителя; К_д, Т_д - коэффициент передачи и постоянная времени электрического двигателя; К_ред - коэффициент передачи редуктора.

Кизм В/град	Кэму В /мА	Тфчв сек	Тэму сек	Кд	Тд сек	Кред	Кфчв	Ку
	2,0	0,004	0,015	2,15	0,3	0,003

Рис.66. Таблица числовых значений данных

Решение:

Найдем передаточную функцию системы:

(2.38.)

Подставив числовые значения, получим:

(2.39.)

(2.40.)

Получим представление характеристического полинома в следующем виде:

(2.41.)

Характеристическое уравнение будет иметь вид:

D(s) = (2.42.)

Составим таблицу Рауса в соответствии с правилами и получим:

	0.000018	0.319	19.35
	0.00576
r3 = 0.003125	0.315875	19.35
r4 = 0.018235	0.647152
r 5 = 0.4881	19.35

Рис.67. Таблица Рауса

Из анализа таблицы следует, что коэффициенты первого столбца таблицы положительны, а значит, система устойчива.