Решение. При тех же условиях (1) найдем реакцию (N1) направляющих в момент времени t1 = 2 с

При тех же условиях (1) найдем реакцию (N₁) направляющих в момент времени
t₁ = 2 с. Опять рассмотрим механическую систему, состоящую из плиты и груза D, и изобразим действующие на нее внешние силы , и реакцию (см. рис. 7.7). Для определения N₁, воспользуемся теоремой о движении центра масс системы и составим дифференциальное уравнение его движения в проекции на ось y:

или , (9)

где т – масса системы; Р₁ = m₁g; Р₂ = m₂g. Из формулы, определяющей ординату (у_С)центра масс системы, следует, что для рассматриваемой системы: ту_С = т₁у_С1 + т₂у_D, где (как видноиз рис. 7.7) у_С1 = h, y_D = 2h – l cos φ. Тогда, используя равенство (7), получим:

.

Вычисляя производные и учитывая, что h = const, получим:

;

.

Подставив найденное значение в равенство (9), найдем зависимость N от t и из нее, полагая t = t₁ = 2 с, определим искомую величину N₁.

Ответ: N₁ = 197,3 H.

4. Определение угловой скорости ω

Плита вращается вокруг оси z, лежащей в плоскости плиты (рис. 7.9), и в момент времени t₀ = 0, ког­да угловая скорость плиты равна ω₀, на нее начинает действовать вращаю­щий момент М.

Дано: дополнительно к усло­виям (1): ω₀ = 5 с^-1; М = kt, где k = 10 Н·м/с.

Определить: ω = f (t) – зави­симость угловой скорости плиты от времени.

Решение

Рассмотрим механичес­кую систему, состоящую из плиты и груза D. Изобразим действующие на нее внешние силы: силы тяжести , , реакции и подпятника и подшипника и вращающий момент М. Для определения ω применим теорему об изменении кинетического момента системы относительно оси z. Предварительно заметим, что, так как силы и параллельны оси z, а реакции и эту ось пересекают, то их моменты относительно оси z равны нулю. Тогда , и согласно теореме имеем:

или . (10)

Умножая обе части этого уравнения на dt и интегрируя, получим:

. (11)

Для рассматриваемой механической системы

, (12)

где и – кинетические моменты относительно оси z плиты и гру­за D соответственно. Поскольку плита вращается вокруг оси z, то

, где . (13)

Для определения рассмотрим движение груза как сложное, считая его движение по отношению к плите относительным, а вращение плиты вокруг оси z – переносным движением. Тогда , и по теореме Вариньона имеем:

. (14)

Но вектор лежит в одной плоскости с осью z и, следовательно, . Вектор направлен перпендикулярно плите (как ось х, если ось у в плоскости плиты); по модулю . Тогда . Ноиз рис. 7.9 видно, что . Взяв значение sin φ из формулы (3) и подставив все най­денные величины в равенство (14), получим:

. (15)

Зная и (формулы (13) и (15)), найдем из равенства (12) значение ; тогда уравнение (11) примет вид:

или при числовых значениях задачи

. (16)

Постоянную интегрирования определим по начальным условиям: при t = 0
ω = ω₀ = 5 с^-1; получим С₁ = 128. При этом значении С₁ из уравнения (16) находим искомую зависимость ω от t.

Ответ: .

Примечание. Из полученного результата можно найти и значение ω₁, при t = t₁. Но если по условиям задачи одновременно М = 0, то уравнение (10) дает K_z = const, и тогда проще не искать зависимость ω от t в общем виде, а сначала определить положение груза D при t = 0 (т.е. угол φ₀) и вычислить значение К_z0 при φ = φ₀, и ω=ω₀ с помощью ра­венств, аналогичных (11) – (15); затем определить положение груза при t = t₁, (угол φ₁) и тем же путем найти К_z1 при φ = φ₁, и ω=ω₁.

Так, в рассмотренном примере при t = 0 будет φ₀ = π /2 и DD₁ = 2 l (рис. 7.9), а при
t = t₁ = 2 с будет φ₁ = – π /6 и DD₁ = l /2. Тогда

.

Значение ω₁ находится из равенства: .