Задача 2. Механическая система состоитиз прямоугольной вертикальной пли­ты 1 массой т1 = 24 кг и груза D массой т2 = 8 кг; плита или движется вдоль горизонтальных

Механическая система состоитиз прямоугольной вертикальной пли­ты 1 массой т₁ = 24 кг и груза D массой т₂ = 8 кг; плита или движется вдоль горизонтальных направляющих (схемы 0 – 4), или вращается вокруг вертикальной оси z, лежащей в плоскости плиты (схемы 5 – 9).

В момент времени t₀ = 0 груз начинает двигаться под действием внутренних сил по имеющемуся на плите желобу. Закон его движения: s = AD = F(t) задан в табл. 7.7, где s выражено в метрах, t – в секундах. Форма желоба (схемы 0, 1, 8, 9) прямолинейная (желоб КЕ),для схем 2 – 7 (s = AD отсчитывается по дуге окружности) – окружность радиуса R = 0,8 м с центром в центре масс С₁ плиты

Плита для схем 0 – 4 имеет в момент t₀ = 0 скорость и₀ = 0. Плита для схем 5 – 9 имеет в момент времени t₀ = 0 угловую ско­рость ω₀ = 8 с^-1; в этот момент на плиту начинает действовать вращаю­щий момент М (момент относительно оси z), заданный в табл. 7.7 в ньютонометрах и направленный как ω₀ при М > 0 и в противоположную сторо­ну при М < 0. Ось z проходит от центра С₁ плиты на расстоянии b; размеры плиты показаны на схемах.

Считая груз материальной точкой и пренебрегая всеми сопротивле­ниями, определить величины, указанные в табл. 7.7 (х₁ – перемещение плиты за время от t₀ = 0 до
t₁ =1с, u₁ – скорость плиты в момент времени t₁ = 1с, N₁ – полную сила нормального давления плиты на направляющие в момент времени t₁ = 1с, указать, куда сила направлена; ω₁ – угловую скорость плиты в момент времени t₁ =1с, ω = f (t) – угловую скорость плиты как функцию времени.

На всех схемах груз показан в положении, при котором s = AD > 0;при s < 0 груз находится по другую сторону от точки А.

Указания. Это задача на применение теорем о движении центра масс и об изменении количества движения и кинетического момента системы. Теоремой о движении центра масс целесообразно воспользоваться в зада­че, где нужно определить поступательное перемещение одного из тел сис­темы (или реакцию связи), а теоремой об изменении количества движе­ния – когда нужно определить скорость такого тела. Теорема об измене­нии кинетического момента применяется в задачах, где нужно найти уг­ловую скорость или закон вращения одного из тел системы.

При решении задачи учесть, что абсолютная скорость () груза слагает­сяиз относительной () и переносной () скоростей (определяются так же, как при решении задачи 3 по кинематике), т.e. = + . Тогда количество движения груза: т = т + т , а момент т относительно оси z по теореме Вариньона (статика) будет: т_z (т ) = т_z (т )+ т_z (т ). Эти моменты вычисляются так же, как моменты силы.

Момент инерции плиты относительно оси C₁z', направленной так же, как ось z (схемы 5 – 9), но проходящей через центр масс С₁ плиты, равняется: m₁l² /12 где l – ширина плиты. Для определения момента инерции I_z относительно оси z воспользовать­ся теоремой Гюйгенса о моментах инерции относительно параллельных осей. Ось z при изображении чертежа провести на том расстоянии b от центра С₁, которое указано в табл. 7.7.

Варианты схем к задаче 2

	0)	1)
2) 4) 6) 8)	3) 5) 7) 9)

Таблица 7.7

Номер варианта условий	s = F(t)	Схемы 0 – 4	s = F(t)	Схемы 5 – 9
Схемы 0 и 1	Схемы 2 – 4	Найти	Схемы 5 – 7	Схемы 8 и 9	b	M	Найти
			x1
			u1
			N1
			u1
			x1
			N1				-12
			u1
			x1
			N1
			x1

Пример решения задачи 2

К вертикальной плите 1 массой т₁ с помощью невесомого стержня BD длиной l прикреплен груз D массой т₂ (рис. 7.7). В момент времени t₀ = 0 стержень начинает вращаться вокруг точки В так, что расстояние s = AD изменяется по закону s = F (t), где s – в метрах, t – в секундах.

Плита движется по горизонтальным направляющим, и при t₀ = 0 ее скорость и = и₀.

Дано: т₁ = 12 кг; m₂ =6 кг; l = 0,8м; t₁ = 2с;

. (1)

Определить: 1) перемещение х ₁ плиты за время от t₀ = 0 до t = t₁; 2) скорость и₁;
3) реакцию N₁; 4) угловую скорость ω.

1. Определение перемещения х ₁ плиты за время от t₀ = 0 до t = t₁