2015-01-30
382
В качестве первого примера рассмотрим явный стационарный итерационный метод, каноническая форма которого:
(26)
Выясним достаточные условия сходимости этого метода. В соответствии с теоремой 2 для этого достаточно, чтобы матрица системы A была симметричной и положительной и выполнялось неравенство 
Учитывая, что 
, имеем 
.
Это неравенство выполнено при 
. Следовательно, метод простых итераций сходится при всех значениях 
, удовлетворяющих неравенству 
.
С учетом неравенства 
, где 
- собственные числа матрицы A, достаточное условие сходимости можно записать в виде
Условие (26) является также и необходимым для сходимости метода простых итераций.
Пусть 
- максимальное по модулю собственное число, 
- соответствующий собственный вектор. При начальном приближении 
для погрешности k -го приближения имеем:
.
Тогда
.
Если 
, то 
и 
при 
.
Если 
, то 
не стремится к нулю при .
