Задания для подготовки к практическому занятию. Матрицы и определители

Матрицы и определители

Прочитайте §1,2 лекций и предложенные примеры. Ответьте письменно на вопросы и решите задачи.

Примеры.

Даны матрицы:

1. Какого размера матрица А? Перечислите ее элементы.

Решение: В данной матрице 2 строки и 3 столбца, значит, это матрица размера 2´3.

Элемент матрицы А в первой строке и первом столбце обозначается а ₁₁ и равен в данном случае а, т.е. а ₁₁= а. Элемент в первой строке и втором столбце а ₁₂=0. Далее, а ₁₃=1, а ₂₁=-2,5, а ₂₂=- b, а ₂₃=0.

2. Какого размера матрица А^Т? Выпишите ее.

Решение: Для того, чтобы найти матицу А^Т, надо в матрице А заменить строки на столбцы и наоборот. Значит, в матрице А^Т будет 3 строки и 2 столбца, т.е. А^Т – матрица размера 3´2. При этом первая строка матрицы А станет первым столбцом матрицы А^Т, вторая строка станет вторым столбцом:

3. Найдите 2А+В. Существует ли А+2С?

Решение: Чтобы умножить матрицу на число, надо каждый элемент матрицы умножить на это число, при этом размер матрицы, конечно, сохранится. Следовательно, . Чтобы сложить две матрицы, надо сложить элементы, стоящие в этих матрицах на одинаковых местах. При этом размеры матриц должны совпадать и результат будет матрицей того же размера. Следовательно,

.

Сумма А+2С не существует, так как А – матрица размера 2´3, а матрица 2С, как и матрица С, размера 2´2, так что элементы в третьем столбце матрицы А просто не с чем складывать.

4. Существуют ли произведения АВ, АС, ВА, СА?

Решение: Для того чтобы существовало произведение матриц, надо чтобы количество столбцов первой матрицы совпадало с количеством строк второй матрицы. При этом произведение матриц содержит столько же строк, сколько первая матрица и столько же столбцов, сколько вторая. Рассмотрим попарно данные матрицы и их размеры, подчеркнем те числа, которые должны совпадать чтобы их произведение в указанном порядке существовало:

А – 2´ 3, В – 2 ´3, не совпадают, следовательно, АВ не существует;

А – 2´ 3, С – 2 ´2, не совпадают, следовательно, АС не существует;

В – 2´ 3, А – 2 ´3, не совпадают, следовательно, ВА не существует;

С – 2´ 2, А – 2 ´3, совпадают, следовательно, СА существует и является матрицей размера 2´3.

5. Существуют ли определители матриц А, В, С? Если да, вычислите.

Решение: Определитель существует только у квадратной матрицы. Следовательно, матрицы А и В не имеют определителей. Определитель матрицы С вычислим по правилу для определителей второго порядка:

.

Вопросы и задачи.

п1. Какого размера матрицы: ; ; ;
?

п2. Приведите пример:

а) матрицы размера 2´3; б) диагональной матрицы 3-го порядка;

в) верхнетреугольной матрицы;

г) единичной матрицы 2-го порядка; д) единичной матрицы 3-го порядка

п3. Пусть . Какого размера матрица А^Т? Выпишите её.

п4. Пусть . Найдите: а) А+3В; б) 2В-А.

п5. Пусть . Найдите такую матрицу В, что .

п6. Пусть , , .

Существуют ли произведения:

а) АВ; б) АС; в) ВС; г) ВА; д) СА; е) СВ; ж) А²; з) В²; и) АА^Т; к) А^ТА? Объясните ответ, укажите размер произведения.

п7. Вычислите определители:

а) ; б) ; в) ; г) ; д)