Определение нормального закона распределения. Теорико-вероятный смысл его параметров. Нормальная кривая и зависимость её положения и формы от параметров

Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью вероятности . Нормальный закон распр также называется законом Гаусса. НЗР занимает центральное место в теории вероятностей. Это обусловлено тем, что этот закон проявляется во всех случаях, когда сл\в является результатом действия большого числа различных факторов. К НЗ приближаются все остальные законы распределения.

Можно легко показать, что параметры и , входящие в плотность распределения являются соответственно мат\ожиданием и средним квадратическим отклонением сл\в Х.

Найдем функцию распределения F(x).

График плотности нормального распределения называется нормальной кривой или кривой Гаусса.

Нормальная кривая обладает следующими свойствами:

1) Функция определена на всей числовой оси.

2) При всех х ф-я распр принимает только положительные значения.

3) Ось ОХ является горизонтальной асимптотой графика плотности вер-ти, т.к. при неограниченном возрастании по абсолютной величине аргумента х, значение функции стремится к нулю.

4) Найдем экстремум функции:

; Т.к. при y’ > 0 при x < m и y’ < 0 при x > m, то в точке х = т функция имеет максимум, равный

5) Функция является симметричной относительно прямой х = а, т.к. разность (х – а) входит в функцию плотности распределения в квадрате.

6) Для нахождения точек перегиба графика найдем вторую производную функции плотности:

При x = m + s и x = m - s вторая производная равна нулю, а при переходе через эти точки меняет знак, т.е. в этих точках функция имеет перегиб. В этих точках значение функции равно

Построим график функции плотности распределения.

Построены графики при т =0 и трех возможных значениях среднего квадратичного отклонения s = 1, s = 2 и s = 7. При увеличении знач среднего квадратичного отклонения график становится более пологим, а максимальное значение уменьшается..

Если а > 0, то график сместится в положительном направлении, если а < 0 – в отрицательном. При а = 0 и s = 1 кривая называется нормированной. Уравнение нормированной кривой: