Переменные ставки

В кредитных соглашениях иногда предусматриваются изменяющиеся во времени процентные ставки. Если это простые ставки, то наращенная на конец срока сумма определяется следующим образом:

S=P(1+ + +…+ ) (1.3)

где — ставка простых процентов в периоде t;

n _t— продолжительность периода с постоянной ставкой .

Пример 3. Контракт предусматривает следующий порядок начисления процентов: первый год— 16%, в каждом последующем полугодии ставка повышается на 1%. Необходимо определить множитель наращения за 2,5 года. Находим

I = 1+1×0,16+0,5×0,17+0,5×0,18+0,5×0,19=1,43.

Начисление процентов при изменении сумм депозита во времени. Принципиально ничего не меняется, если сумма, на которую начисляются проценты, изменяет свою величину во времени (размер вклада на сберегательном счете, текущий счет при периодическом его пополнении или снятии денег и т.п.). В этом случае

I= R_j n_j i, (1.4)

где R_j— остаток средств на счете в момент j после очередного поступления или списания средств, n_j— срок хранения денег (в годах) до нового изменения остатка средств на счете.

В банковско-сберегательном деле обычно применяют следующий способ, основанный на преобразовании (1.4). Для этого измерим интервалы между моментами изменений величины остатка на счете в днях, а процентную ставку выразим в процентах (а не в десятичных дробях как выше). После чего получим

I= R_j*n_j*i=( R_j*t_j/100)/(K/i) (1.5)

Как и прежде К означает число дней в году, a t_j- срок в днях между последовательными изменениями остатков на счете.

Величину R_j*t_j/100 называют процентным числом, а делитель — процентным (или постоянным) делителем.

Пример 4. Движение средств на счете характеризуется следующими данными: 05. 02 поступило 12 млн. руб., 10.07 снято 4 млн. руб. и 20.10 поступило 8 млн. руб. Найти сумму на счете на конец года. Процентная ставка 18% годовых. Процентный делитель составит 365: 18 = 20,27778. Расчет суммы процентных чисел приведен в следующей таблице.

Сумма процентов за весь срок равна 38,28/20,27778=1,888 (млн. руб.).

Реинвестирование по простым ставкам. В практике, при инвестировании средств в краткосрочные депозиты, иногда прибегают к неоднократному последовательному повторению наращения по простым процентам в пределах заданного общего срока. Фактически это означает реинвестирование средств, полученных на каждом этапе наращения, с помощью постоянной или переменной ставок. Наращенная сумма для всего срока составит в этом случае

S=P(1+n_1*i₁)(1+n_2*i₂)..(1+n_t*i_t). (1.6)

где i_t— размер ставок, по которым производится реинвестирование.

Если промежуточные сроки начисления и ставки не изменяются во времени, то вместо (1.6) имеем

S=P(1+n_*i)^m, (1.7)

где m- количество повторений реинвестирования.

Пример 5. 100 млн. руб. положены 1-го января на месячный депозит под 20% годовых. Какова наращенная сумма, если операция повторяется 3 раза? Если начислять точные проценты (365/365), то

S= 100(1+(31/365)0,2)(1+(28/365)0,2)(1+31/365)0,2)=105,013 (млн. руб.)

Начисление обыкновенных процентов (360/360) при реинвестировании дает

S= 100(1+(30/360)_*0,2)³= 105,084 (млн. руб.)