Пусть функция у = f(х) определена на отрезке [а;b]. Говорят, что функция
у = f(х) имеет локальный максимум в точке х0 є [а;b], если существует окрестность точки х0, целиком содержащаяся в [а;b ] и такая, что для любого х, принадлежащего этой окрестности, выполняется неравенство f(х) < f(х0).
Под окрестностью точки х0 понимают интервал длины 2e с центром в точке х0, т.е. (х0-e, х0+e), где e - произвольное положительное число
Говорят, что функция у = f(х) имеет локальный минимум в точке х0 є[а;b], если существует окрестность точки х0, целиком содержащаяся в [а;b] и такая, что для любого х, принадлежащего этой окрестности, выполняется неравенство f(х) > f(х0).
Достаточный признак экстремума функции.
Критическая точка (внутренняя точка области определения функции, в которой производная этой функции равна нулю или не существует) является точкой экстремума функции, если в окрестности этой точки производная меняет знак, причем точкой максимума, если производная меняет знак с «+» на «-», и точкой минимума, если производная меняет знак с «-» на «+».
Наибольшее (наименьшее) значение непрерывной функции у = f(х) на отрезке [а;b] достигается либо в одной из критических точек, либо в одной из граничных точек данного отрезка.