Как решить матричное уравнение ?

Существуют два основных типа матричных уравнений:

А × Х = В и Х × А = В, где Х – неизвестная матрица, А и В – известные матрицы.

Для того, чтобы решить уравнение А × Х = В, надо обе его части умножить слева на А^-1:

А^-1 × А × Х = А^-1 × В.

Так как А^-1 × А = Е, то получим

Е × Х = А^-1 × В.

Поскольку Е × Х = Х × Е = Х, то

Х = А^-1 × В.

Для того, чтобы решить уравнение Х × А = В, надо обе его части умножить справа на А^-1:

Х × А × А^-1 = В × А^-1

Х Е = В × А^-1

Х = В × А^-1.

Ясно, что для решения уравнения А × Х × В = С нужно это уравнение умножить слева на А^-1 и справа на В^-1:

А^-1× А × Х × В × В^-1 = А^-1 × С × В^-1

Е × Х × Е = А^-1 × С × В^-1

Х = А^-1 × С × В^-1.

Изложить суть матричного метода решения

Систем n линейных уравнений с n неизвестными.

Такую систему (*) можно записать в виде матричного уравнения А × Х = В, где А - основная матрица системы, Х – матрица-столбец из неизвестных, В – матрица-столбец свободных членов. Решение уравнения Х = А^-1 × В. Таким образом, для того чтобы решить систему n линейных уравнений с n неизвестными матричным способом, надо:

1) найти матрицу, обратную основной матрице системы;

2) умножить полученную обратную матрицу на матрицу-столбец свободных членов.

Поскольку обратная матрица существует только для невырожденных матриц, матричным методом можно решать только те системы n уравнений с n неизвестными, которые имеют невырожденную основную квадратную матрицу.