Тема 4. Ранг матрицы

Ключевые вопросы теории. Краткие ответы

Что называется минором порядка S

Матрицы А?

Пусть дана матрица А размерности (m x n) и пусть число

s > 1, s £ m, s £ n. Выберем в матрице А произвольно s разных строк и s разных столбцов. Элементы, cтоящие на пересечении этих строк и столбцов, образуют квадратную матрицу порядка s. Определитель этой матрицы называется минором порядка s матрицы А.

Дать определение ранга матрицы

Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличного от нуля минора этой матрицы. Ранг матрицы А обозначается через r = ranq A.

Что называется базисным минором матрицы А?

Базисным минором матрицы А называют любой отличный от нуля минор этой матрицы, порядок которого равен рангу матрицы А.

Сформулировать теорему о ранге матрицы

Теорема (о ранге матрицы). Ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк этой матрицы.

Следствие. Максимальное число линейно независимых строк в матрице равно максимальному числу линейно независимых столбцов в этой матрице

Перечислить методы вычисления ранга матрицы.

Таких методов два.

Первый метод – метод окаймляющих миноров – основан на определении ранга матрицы.

Суть второго метода – метода элементарных преобразований – состоит в том, что с помощью элементарных преобразований матрицу приводят к треугольному виду. Число ненуле-

вых строк треугольной матрицы равно ее рангу. Этот метод основан на следующей теореме.

Теорема. Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.

Какие преобразования называются

Элементарными преобразованиями матрицы?

Под элементарными преобразованиями матрицы понимают:

1) транспонирование матрицы,

2) перестановку двух строк (столбцов),

3) вычеркивание нулевой строки (столбца),

4) умножение какой-либо строки (столбца) на ненулевое число;

5) прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки.