Решение задач. Пример 1.Найти матрицу, обратную матрице

Пример 1. Найти матрицу, обратную матрице

А =

и сделать проверку.

Решение. 1. det A = = 2 - 2 +

+ 3 = 2 × (-1) – 2 × 1 + 3 × 1 = -1 ¹ 0, следовательно, существует А^-1.

2. Найдем союзную матрицу А^*:

А₁₁ = = -1; А₁₂ = - = -1; А₁₃ = = 1;

А₂₁ = - = 4; А₂₂ = = 5; А₂₃ = - = -6;

А₃₁ = = 3; А₃₂ = - = 3; А₃₃ = = -4.

А^* = .

3. Транспонируем матрицу А^*:

= А^*_т = .

4. Получаем матрицу А^-1:

А^-1 = = = .

Сделаем проверку: А × А^-1 = А^-1 × А = Е.

А × А^-1 = =

= = = Е.

Итак, обратная матрица найдена верно.

Пример 2. Решить систему уравнений матричным способом:

Решение. Рассмотрим три матрицы: А – основная матрица системы, Х – матрица-столбец неизвестных х₁, x₂, x₃, В – матрица-столбец свободных членов:

А = , X = , B = .

Пользуясь правилом умножения матриц, система может быть записана в матричной форме:

=

или А × Х = В. Отсюда Х = А^-1 ×В. Матрица А^-1 найдена в предыдущем примере. Решение в матричной форме запишется так:

Х = = = .

Итак, решение данной системы: х₁ = 1, х₂ = 2, x₃ = 3.

Пример 3. Решить уравнение

× Х = .

Решение. Это уравнение вида А × Х = В, решение которого Х = А^-1 × В.

Найдем матрицу А^-1:

1. det A = = = - =

= - (-8 + 12) = -4 ¹ 0, следовательно, матрица А^-1 существует.

2. Составим матрицу А^*:

А₁₁ = = 3 А₁₂ = - = -1 А₁₃ = = 4

А₂₁ = - = -10 А₂₂ = = 2 А₂₃ = - = -8

А₃₁ = = 9 А₃₂ = - = -3 А₃₃ = = 8

А^* = .

3. = . 4. А^-1 = - .

Найдем теперь матрицу Х:

X = - = - = - = .

Ответ. Х = .