Решение задач

Пример 1. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей

A = .

Решение. Напишем характеристическое уравнение данной матрицы А:

= 0.

Разложим определитель по элементам первой строки:

(5 - l) - 6 + 3 = 0.

l³ - 4l² - 4l + 16 = 0

l² (l - 4) – 4 (l - 4) = 0.

(l - 4) (l² – 4) = 0. Корни этого уравнения l₁ = 4, l₂ = 2, l₃ = -2 являются собственными значениями линейного преобразования.

Для нахождения собственных векторов используем систему уравнений:

Эта система имеет множество ненулевых решений, так как ранг ее меньше 3. Полагая l = l₁ = 4, получаем систему уравнений для нахождения первого собственного вектора (х₁, x₂, x₃):

Ясно, что определитель основной матрицы этой системы равен нулю. Однако определитель = 2 ¹ 0, поэтому первое уравнение системы можно отбросить:

Последняя система решается так, как показано в примере 5 из темы 5:

Þ х₁: x₂: x₃ = t:- t: t =

= 18 t: 4 t: 2 t = 9 t: -2 t: t.

Собственный вектор = t (9, -2, 1), t ¹ 0.

Полагая l = l₂ = 2, получаем систему уравнений:

Þ Þ Þ

Þ х₁: x₂: x₃= t: - t: t =12 t: -6t:0 =

= 2 t: -t: 0. = t (2, -1, 0), t ¹ 0.

Полагая l = l₃ = -2, получаем систему уравнений:

Þ Þ Þ

Þ х₁: x₂: x₃ = t: - t: t = 0: 2 t: -4t = 0: t:-2t

= t (0, 1, -2), t ¹ 0.

Собственные векторы линейно независимы, то есть их можно принять за базис.

Пример 2. Найти характеристические числа и собственные векторы матрицы

А = .

Решение. Запишем характеристическое уравнение матрицы А:

= 0.

Разложим определитель по первой строке:

-l - 2 + = 0

-l (l² + 9) – 2 (2l + 3) + 6 - l = 0

-l³ – 14 l = 0

l (l² + 14) = 0

l₁ = 0 l² = -14 l_2,3 = ± .

Корни этого уравнения l₁ = 0, l_2,3 = ± являются собственными значениями линейного преобразования.

Для нахождения собственных векторов используем систему уравнений:

Эта система имеет множество ненулевых решений, так как ее ранг меньше 3.

Полагая l = l₁ = 0, получаем систему уравнений для нахождения первого собственного вектора (х₁, х₂, x₃):

Þ Û Þ

Þ х₁: x₂: x₃ = t: - t: t = -6 t: - 2 t: 4 t =

= 3 t: -t: 2 t. ₁ = t (3, -1, 2), t ¹ 0.

Полагая l = l_2,3 = ± , получаем систему уравнений:

Þ Þ

Þ Þ х₁: x₂: x₃ = t: -

- t: t = (-3 × ± 2 ) t:

- (14 – 1) t: (-2 3 ) t = (3 2 ) t: 13 t:(2 ± 3 ) t

_2,3 = t (3 2 , 13, 2 ± 3 ), t ¹ 0.

Пример 3. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

А = .

Решение. Запишем характеристическое уравнение заданной матрицы А:

= 0.

Разложим определитель по третьей строке:

(1 - l) = 0

(1 - l) ((2 - l)² – 1) = 0

(1 - l) (2 - l – 1) (2 - l + 1) = 0

(1 - l)² (3 - l) = 0

l_1,2 = 1 l₃ = 3

Корни этого уравнения l_1,2 = 1, l₃ = 3 являются собственными значениями матрицы А.

Для нахождения ее собственных векторов используем систему:

Эта система имеет множество ненулевых решений, так как ранг ее меньше 3.

Полагая l = l_1,2 = 1, получим систему уравнений

Þ Û Þ

Þ х₁: x₂: x₃ = t: - t: t = -t: - t:0.

Собственный вектор _1,2 = t (1, 1, 0), t ¹ 0.

Полагая l = l₃ = 3, получим систему уравнений:

Û Þ Þ

Þ х₁: x₂: x₃ = t: - t: t = 2 t: - 2 t:0.

Собственный вектор ₃ = t (1, -1, 0), t ¹ 0.

Пример 4. Методом собственных векторов привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка

17 х² + 12 ху + 8 у² = 20.

Решение. Квадратичная форма 17 х² + 12 ху + 8 у² полностью определяется матрицей А = . Найдем собственные значения матрицы А. Запишем и решим характеристическое уравнение:

= 0.

(17 - l) (8 - l) – 36 = 0 Þ l² – 25 l + 100 = 0 Þ l₁ = 5, l₂ = 20. Квадратичная форма 17 х² + 12 ху + 8 у² преобразуется к каноническому виду l₁ (х¢)² + l₂ (у¢)², то есть 5 (х¢)² + 20 (у¢)², а данное уравнение кривой к виду: 5 (х¢)² + 20 (у¢)² = 20 или