2015-01-07
316
А = 
. Найдем собственные значения матрицы А:
= 0, (3 - l)2 – 25 = 0, l2 - 6 l – 16 = 0,
l1 = -2, l2 = 8 – cобственные числа. Так как l1 и l2 отличны от нуля и разных знаков, то кривая – гипербола.
Найдем собственные векторы матрицы А.
Пусть l = l1 = -2.
Þ х1 = -х2 Þ 
.
| 
| = 
= 
, 
= 
= 
= 
(
).
Пусть l = l2 = 8.
Þ х1 = х2 Þ 
.
| | = = , 
= = 
= (
).
Выполняя преобразование
х = (х¢ - у¢), у = (х¢ + у¢),
матрицей которого является матрица
С = 
,
получим
8 (х¢)2 – 2 (у¢)2 - 
х¢ - 
у¢ - 13 = 0.
Выделим полные квадраты по каждой из новых переменных:
8 (х¢)2 - х¢ = 8 
- 4
– 2 (у¢)2 - у¢ = -2 
+ 9.
Уравнение кривой примет вид:
8 - 2 = 8.
Сделаем замену переменных, соответствующую сдвигу по каждой из координатных осей:
х² = х¢ - , у² = у¢ + 
.
Получим уравнение кривой:
8 (х²)2 – 2 (у²)2 =8 или 
- 
= 1.
Это и есть результирующее уравнение гиперболы.
Результирующее преобразование координат имеет вид:
х = (х¢ - у¢), где х¢ = х² + , у¢ = у² - , т.е.
х = 
= (х² - у²) + 2
у = (х¢ + у¢) = 
= (х² + у²) – 1,
а каноническая система координат:
0¢ (2, -1), = 
- 
, = + .
