Каноническому виду ?

Любая квадратичная форма некоторым невырожденным линейным преобразованием может быть приведена к каноническому виду.

Если существует линейное преобразование С, приводящее действительную квадратичную форму F (x, y) к каноническому виду

j (x₁, y₁) = l₁ x₁² + l₂ у₁²,

то l₁, l₂ – характеристические числа матрицы А квадратичной формы F (x, y), причем столбцами матрицы С являются нормированные собственные векторы-столбцы матрицы А с собственными числами l₁, l₂.

Методы приведения квадратичной формы к каноническому виду применяются при решении задач на приведение к каноническому виду уравнений кривых 2-го порядка. Дело в том, что квадратичная форма входит в формулу общего уравнения кривой 2-го порядка:

a ₁₁ x² + a ₂₂ y² + 2 a ₁₂ xy + a ₁₃ х + a ₂₃ y + a ₃₃ = 0.

В аналитической геометрии эту задачу нужно было бы решать с использованием формул поворота системы координат на угол a подбором угла таким образом, чтобы а ₁₂ = 0. Эта часть работы трудоемка и значительно упрощается при использовании матриц.

При определении типа кривой полезно помнить, что:

1) если l₁ и l₂ одного знака, то кривая – эллипс;

2) если l₁ и l₂ противоположных знаков, то кривая – гипербола;

3) если l₁ = 0, l₂ ¹ 0 или если l₁ ¹ 0, l₂ = 0, то кривая – парабола.

Дайте определение характеристического

Уравнения матрицы, собственного значения матрицы, собственного вектора матрицы

Каждому линейному преобразованию n-мерного пространства соответствует матрица порядка n в данном базисе; обратно, каждой матрице порядка n соответствует линейное преобразование n-мерного пространства.

Характеристическим уравнением матрицы называется характеристическое уравнение соответствующего ей линейного преобразования.

Собственным вектором матрицы называется собственный вектор соответствующего ей линейного преобразования.

Собственным значением матрицы называется собственное значение соответствующего ей линейного преобразования.