Банк задач для самостоятельной работы. В задачах 1 – 6 найти собственные значения и собственные векторы линейных преобразований, заданных своими матрицами

В задачах 1 – 6 найти собственные значения и собственные векторы линейных преобразований, заданных своими матрицами.

1. 2. 3. 4.

5. 6. .

Ответ. 1. l₁ = 1, = t (1, -1); l₂ = 3, = t (1, 1), t ¹ 0.

2. l₁ = 7, = t (1, 1); l₂ = -2, = t (4, -5), t ¹ 0.

3. l₁ = -1, = t (1, -2); l₂ = 5, = t (1, 4), t ¹ 0.

4. l₁ = -2, = t (0, 19, 0); l₂ = 1, = t (15, 8, -9),

l₃ = 9, = t (11, 16, 11), t ¹ 0.

5. l_1,2 = 1, = t (-4, 1, 1), l₃ =5, = t (1, 0, 0), t ¹0.

6. l₁ = l₂ = l₃ = -1, = t (1, 1, -1), t ¹0.

В задачах 7 – 10 методом собственных векторов привести к каноническому виду следующие уравнения кривой второго порядка.

7. 5 х² + 8 ху + 5 у² = 9

8. х² - 2 ху + 5 у² = 24

9. 5 х² + 4 ху + 2 у² = 18

10. 4 ху + 3 у² = 36

Ответы. 7) l₁ =1, l₂ = 9; эллипс + = 1.

8) l₁ =8, l₂ = -2; гипербола - = 1.

9) l₁ =1, l₂ = 6; эллипс + = 1.

10) l₁ =4, l₂ = -1; гипербола - = 1.

В задачах 11 – 13 определить тип кривой второго порядка, написать ее каноническое уравнение и найти каноническую систему координат.

11. х² + 6 ху + у² + 6х + 2у – 1 = 0.

12. х² + 2 ху + у² + 3х + у = 0.

13. 9х² + 4 ху + 6 ² + 16х + 8у – 2 = 0.

Ответ. 11) l₁ =4, l₂ = -2; гипербола 4 (х¢)² – 2 (у²)² =1,

0¢ (0, -1), = , = ; 12) l₁ = 2, l₂ = 0; парабола (х²)² = - у², 0¢ , = ,

= ; 13) l₁ =5, l₂ = 10; ‘эллипс + (у²)² = 1,

0¢ , = , = .

Варианты проверочных работ

Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей А.

1. А = . Ответ. l₁ = -1 = t (-1, 0, 1)

l_2,3 = 1 = t (1, k, 1), t ¹ 0.

2. А = .

Ответ. l₁ = 0 = t (3, -1, 2), t ¹ 0

l_2,3 = ± .

3. А = .

Ответ. l₁ = -2 = t (0, 0, 1)

l_2,3 = 1 = t (3, -6, 20), t ¹ 0.

4. А = .

Ответ. l_1,2,3 = 2 = t (1, 2, k), t ¹ 0.

5. А = .

Ответ. l₁ = 1 = t (-59, 3, -20)

l₂ = 2 = t (2, 0, 1)

l₃ = -2 = t (2, 0, -1), t ¹ 0.

6. А = .

Ответ. l₁ = 1 = t (0, 1, 0)

l₂ = -2 = t (-1, 0, 1)

l₃ = 4 = t (3, 4, 3), t ¹ 0.

7. А = .

Ответ. l₁ = 7 = t (7, 5, 6)

l₂ = 1 = t (0, 1, 2)

l₃ = -7 = t (0, -5, 6), t ¹ 0.

8. А = .

Ответ. l_1,2,3 = 1 = t (3, 1, 1), t ¹ 0.

9. А = .

Ответ. l_1,2 = 0 = t (1, 2, 3)

l₃ = 1 = t (1, 1, 1), t ¹ 0.

10. А = .

Ответ. l₁ = 0 = t (1, 0, 1)

l₂ = 0 = t (1, 2, 3)

l₃ = -1 = t (4, -1, 6), t ¹ 0.

2. Определить тип кривой второго порядка.

1. 3х² + 3у² – 4ху + 4х + 4у + 1 = 0.

Ответ. l₁ = 1, l₂ = 5, эллипс.

2. х² + у² – 4ху + 2х + 4у + 1 = 0.

Ответ. l₁ = 3, l₂ = -1, гипербола.

3. 5х² – 6ух + 5у² – 2х + 3у - 32 = 0.

Ответ. l₁ = 8, l₂ = 2, эллипс.

4. 9 х² – 24 ху + 16 у² – 3х + 4 = 0.

Ответ. l₁ = 0, l₂ = 25, парабола.

5. 3х² + 3у² + 10 ху - 2х - 14у - 13 = 0.

Ответ. l₁ = 8, l₂ = -2, гипербола.

6. 7х² + 4 ху + 3у² + х – у = 0.

Ответ. l₁ = 1, l₂ = 9, эллипс.

7. х² – 4 ух + 4у² – 4х – 3у – 7 = 0.

Ответ. l₁ = 0, l₂ = 5, парабола.

8. 2х² + 4ху + 5у² – 6х – 8у = 1.

Ответ. l₁ = 1, l₂ = 6, эллипс.

9. 5х² + 12 ху – 22 х – 12 у – 19 = 0.

Ответ. Ответ. l₁ = 9, l₂ = -4, гипербола

10. х² – 2ху + у² – 10 х – 6у + 25 = 0.

Ответ. l₁ = 0, l₂ = 2, парабола.