Пространство элементарных событий

Вероятностными экспериментами (в дальнейшем будем обозначать символом «Е») называются испытания, которые могут быть многократно воспроизведены при соблюдении одних и тех же фиксированных условий, результат которых не удается заранее однозначно предсказать. Приведем несколько примеров случайных экспериментов:

Е: подбрасывание двух монет;

Е: подбрасывание игральной кости;

Е: подсчет числа покупателей в магазине в течение рабочего дня;

Е: изучение отклонения заработной платы работников от среднего значения заработной платы на предприятии и т. д.

Случайными называются явления, исход которых при одинаковом комплексе условий заранее нельзя предсказать.

Однако при многократном воспроизведении указанных экспериментов можно заметить некоторые закономерности. Изучение таких закономерностей, возникающих при взаимодействии большого числа случайных факторов, и разработка математических моделей случайных экспериментов являются предметом теории вероятностей.

Опытом, или экспериментом, называют всякое осуществление определенного комплекса условий или действий, при которых происходит соответствующее случайное явление. Возможный результат опыта называют событием.

Для каждого случайного эксперимента можно указать множество, в котором представлена информация о всех возможных взаимоисключающих исходах этого эксперимента. Это множество называется пространством элементарных исходов (или событий). Обозначается буквой W (омега).

Элементарным исходом (событием) w называется любой мысленно возможный неразложимый результат вероятностного эксперимента E.

Пространство элементарных исходов, состоящее из конечного или счетного числа элементов называется дискретным. Пространство элементарных исходов, состоящее из несчетного числа элементарных исходов называется непрерывным.

В общем случае пространство элементарных событий W может быть любой природы, как конечным, так и бесконечным, как дискретным, так и непрерывным.

Пример 1 Е: Подбрасывание одной монеты. W = {Г, Р}.

Пример 2 Е: Подбрасывание двух монет. W = {ГГ, ГР, РГ, РР}.

Пример 3 Е: Подбрасывание игрального кубика. W = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Пример 4 Е: Подбрасывание монеты до тех пор, пока на ней не выпадет герб. W = {Г, РГ, РРГ, РРРГ, РРРРГ, РРРРРГ, … }.

В эксперименте с подбрасыванием одной монеты (пример 1) элементарными исходами будут выпадение Г и Р. То есть w₁ = «Г», w₂ = «Р» – элементарные события. В эксперименте с подбрасыванием игрального кубика (пример 3) элементарными исходами будут выпадение 1, 2, 3, 4, 5, 6. То есть w₁ = «1», w₂ = «2», w₃ = «3», w₄ = «4», w₅ = «5», w₆ = «6» – элементарные события.

Случайным называется такое событие, которое является подмножеством пространства элементарных событий. Случайные события будем обозначать заглавными латинскими буквами (А, В, С,...). Элементарные исходы, которые принадлежат множеству А (то есть ), называются благоприятными событию A.

Таким образом, любое событие, связанное с данным испытанием, можно описать в виде совокупности благоприятных ему элементарных событий.

В рассмотренном выше примере 1: Е: Подбрасывание одной монеты. W = {Г, Р}.

Событие A = {выпадение герба}, A = {Г}; событие B = {выпадение решки}, B = {Р}.

В рассмотренном выше примере 2: Е: Подбрасывание двух монет. W = {ГГ, ГР, РГ, РР}.

Событие A = {выпадение герба на двух монетах}, A = {ГГ}; событие B = {выпадение решки на двух монетах}, B = {РР}, событие С = {выпадение решки только на одной монете}, С = {ГР, РГ}, событие D = {выпадение герба хотя бы на одной монете}, D = {ГГ, ГР, РГ}.

В рассмотренном выше примере 3: Е: Подбрасывание игрального кубика. W = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Событие A = {выпадение четного числа очков}, A = {2, 4, 6}; событие B = {выпадение нечетного числа очков}, B = {1, 3, 5}; событие С = {выпадение числа очков меньше 6}, С = {1, 2, 3, 4, 5}; событие D = {выпадение числа очков больше 2}, D = {3, 4, 5, 6}.

Невозможным событием называется событие, которое никогда не произойдет в данном случайном эксперименте, то есть совпадающее с пустым множеством Æ.

Достоверным событием называется событие, которому благоприятны все возможные элементарные исходы пространства элементарных исходов W и которое обязательно произойдет в результате вероятностного эксперимента Е. В этом случае A = W.

В рассмотренном выше примере 3: Е: Подбрасывание игрального кубика. W = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Достоверное событие E = {выпадение числа очков или четного, или нечетного}, Е = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; невозможное событие F = {выпадение числа очков больше 6}, F = {Æ}.

В рассмотренном выше примере 4: Е: Подбрасывание монеты до тех пор, пока на ней не выпадет герб. W = {Г, РГ, РРГ, РРРГ, РРРРГ, …}.

Достоверное событие А = {монету подбросят хотя бы один раз},

А = {Г, РГ, РРГ, РРРГ, РРРРГ, РРРРРГ, … }= W.