Предельная теорема Пуассона

Пусть число экспериментов Бернулли велико (), а вероятность наступления события A в каждом испытании очень мала (), тогда вероятность того, что событие A появится в серии из n испытаний ровно m раз, приближенно равна

(13)

где произведение .

Пример 22 Предприятие для изучения качества выпускаемой продукции в случайном порядке выбирает 500 изделий. Вероятность того, что изделие окажется бракованным, равна 0,002. Какова вероятность того, что из 500 изделий, выбранных для проверки, окажутся бракованными: а) ровно 5; б) не более 5; в) найдите наиболее вероятное число бракованных изделий среди 500 отобранных.

Решение. Условие задачи можно рассматривать как серию из n = 500 независимых испытаний, состоящих в выборе для проверки изделия, в каждом из которых с вероятностью p = 0,002 может осуществиться событие A = {выбранное для проверки изделие оказалось бракованным}. Вероятность того, что выбранное для проверки изделие оказалось стандартным,
q = 1 – 0,002 = 0,998.

В данном случае воспользуемся приближенной формулой Пуассона с параметром a = np,так какчисло испытаний n = 500достаточно велико, а вероятность появления события в каждом испытании p = 0,002очень мала (p < 0,1), то есть в каждом отдельном опыте событие A появляется крайне редко:

;

a = np = .

а) Определим событие В = {из 500 изделий, выбранных для проверки, окажутся бракованными ровно 5}.

P (В) = 0,0361;

б) Определим событие С= {из 500 изделий, выбранных для проверки, окажутся бракованными не более 5, то есть или 0, или 1, или 2, или 3, или 4, или 5}:

0,99941.

в) Определим наиболее вероятное число бракованных изделий среди 500 отобранных:

£ m ₀ £ , 0,002£ m ₀ £ 1,002.

Наивероятнейшее число m ₀ = 1.

Вопросы для самоконтроля

1 Какие испытания называются независимыми? Приведите примеры.

2 Какие испытания называются испытаниями Бернулли? Приведите примеры.

3 При каких условиях применяется формула Бернулли?

4 Что определяется по формуле Бернулли?

5 При каких условиях применяется предельная теорема Пуассона?

6 При каких условиях применяются предельные теоремы Myaвpa-Лапласа?

7 Что определяется по локальной теореме Муавра-Лапласа?

8 Что определяется по интегральной теореме Муавра-Лапласа?

9 Какое число называется наивероятнейшим числом наступлений события A в серии из n испытаний?