Локальная и интегральная теоремы Лапласа

Очевидно, что при больших значениях n пользоваться формулой Бернулли затруднительно, так как придется вычислять значения факториалов больших чисел и возводить в большую степень числа, близкие к нулю (0 < p < 1). В этом случае можно использовать асимптотические формулы Лапласа, дающие тем лучшее приближенное значение P_n (m) и P_n (k ₁£ m £ k ₂), чем больше n.

Локальная теорема Лапласа. Если вероятность p появления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы (0 < p < 1), то вероятность того, что событие A появится в серии из n испытаний ровно m раз приближенно равна (тем точнее, чем больше n) значению функции

, .

(В приложении A приведена таблица значений функции , соответствующих положительным значениям аргумента.)

Функция j(x) является четной функцией, то есть j(– x) = j(x), для всех принимается j(x) = 0. Таким образом, вероятность того, что событие A появится в n независимых испытаниях ровно m раз, приближенно равна

, (11)

где .

Интегральная теорема Лапласа. Если вероятность p наступления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы (0 < p < 1), то вероятность того, что событие A появится в серии из n испытаний от k ₁ до k ₂ раз, приближенно равна

, (12)

где , .

В приложении Б приведены таблицы значений функции Лапласа

Функция F(x) нечетна, то есть F(– x) = – F(x). При x > 5 можно принять F(x) = 0,5.

Пример 21 Завод изготавливает конденсаторы. Вероятность выхода из строя за время Т одного конденсатора равна 0,2. Найти вероятность того, что из 100 конденсаторов за время Т выйдет из строя: а) ровно 10 конденсаторов; б) не менее 20 и не более100 конденсаторов.

Решение. Определим события В = {среди 100 конденсаторов ровно 20 выйдет из строя за время Т }; С ={среди 100 конденсаторов за время Т из строя выйдет не менее 20 и не более100}.

Предполагая, что выход из строя конденсаторов осуществляется независимо друг от друга, условие задачи можно рассматривать как серию из n = 100 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность события A = {конденсатор выйдет из строя} равна 0,2. То есть p = 0,2, q = 0,8.

Так как число испытаний достаточно велико, для вычисления вероятностей событий B и C можно воспользоваться приближёнными формулами Муавра-Лапласа.

а) Определим вероятность события В = {среди 100 конденсаторов ровно 10 выйдет из строя за время Т}.

Для вычисления вероятности события В воспользуемся локальной теоремой Муавра-Лапласа. В данном случае: n = 100; p = 0,2; q = 0,8; m = 10;