Задача решения СЛАУ формулируется как вопрос численного решения систем вида:
(2.1)
Или, в векторно-матричной форме:
,
где – вектор правой части;
– вектор неизвестных;
– матрица коэффициентов системы.
Все методы решения СЛАУ можно разделить на два класса: прямые и итерационные методы.
Прямые методы– используют конечные соотношения (формулы), которые приводят к решению за известное конечное число арифметических операций. Если арифметические операции реализуются точно, то и получаемое решение СЛАУ также будет точным.
Итерационные методы – это методы последовательных приближений к решению, получаемых путем повторения циклов вычислений, называемых итерациями. Результатом проведения итерации является получение очередного приближения к решению. Итерации проводятся до получения решения с заданной точностью. Объем вычислений при использовании методов данного класса заранее определить трудно.
Численные методы решения СЛАУ можно разделить на две группы:
|
|
В качестве примера сопоставим трудозатраты для решения СЛАУ методом Крамера и методом Гаусса.
Пример: В методе Крамера количество операции (умножения) для решения СЛАУ размером n на n равно n!.
В методе Гаусса количество операций (умножения) для решения СЛАУ размером n на n равно .
Проведем оценку экономичности методов для разных размерностей СЛАУ:
для n=2
· метод Крамера - n!=2
· метод Гаусса - =8
для n=10
· метод Крамера - n!=
· метод Гаусса -
Из приведенных оценок видно, что метод Крамера лучше всего подходит для малых размерностей СЛАУ, начиная с размерности n=6 более эффективным становится метод Гаусса.