Сходимость или расходимость положительного ряда часто устанавливается путем сравнения его с другим рядом, заведомо сходящимся или расходящимся. В основе такого сравнения лежит следующая простая
Теорема 1. Пусть даны два положительных ряда
Если, хотя бы с некоторого места (скажем, для ), выполняется неравенство: , то из сходимости ряда вытекает сходимость ряда или – что то же – из расходимости ряда следует расходимость ряда .
Иногда на практике более удобна следующая теорема, вытекающая из первой:
Теорема 2. Предположим, что . Если существует предел
,
то при оба ряда сходятся или расходятся одновременно.
Наконец, приведем еще одну теорему сравнения, также представляющую собой следствие первой.
Теорема 3. Если, хотя бы с некоторого места (скажем, для ), выполняется неравенство
,
то из сходимости ряда вытекает сходимость ряда или – что то же – из расходимости ряда следует расходимость ряда .
Пример 1. Рассмотрим ряд и сравним его с расходящимся рядом . Так как , то по Теореме сравнения 2 ряд расходится.
Рассмотрим ряд , где . Так как при таком ограничении на параметр для всех имеет место неравенство , а ряд расходится, то по Теореме сравнения 1 ряд также будет расходящимся при .
Рассмотрим ряд , где . Представим в виде , где , и рассмотрим ряд , который заведомо сходится. Так как , то при , откуда, по Теореме сравнения 1, и вытекает сходимость ряда при .
Ряд вида называется гармоническим. Таким образом, гармонический ряд сходится при и расходится при .