Определение 1. Знакопеременными называются ряды, члены которых поочередно имеют то положительный, то отрицательный знаки.
Знакопеременный ряд удобнее записывать так, чтобы знаки членов были выявлены, например
(1)
По отношению к знакопеременным рядам имеет место следующая простая теорема.
Теорема Лейбница. Если члены знакопеременного ряда (1) монотонно убывают по абсолютной величине:
(2)
и стремятся к нулю:
,
то ряд сходится.
Замечание1. Остаток ряда лейбницевского типа (так мы называем знакопеременный ряд, удовлетворяющий условиям теоремы Лейбница) имеет знак своего первого члена и меньше его по абсолютной величине.
Это замечание часто используется при приближенных вычислениях с помощью рядов.
Пример1. Простейшим примером ряда лейбницевского типа служит ряд , сходимость которого вытекает из доказанной теоремы. В то же время ряд, составленный из абсолютных величин его членов есть гармонический ряд , который, как мы знаем, расходится. Таким образом, мы имеем пример условно (неабсолютно) сходящегося ряда.