Обратимые матрицы

поле скаляров, множество матриц порядка

Определение. Квадратная матрица порядка называется единичной матрицей ,

Пусть ,

Теорема 1

, то для выполняется

Доказательство:

Из этого следует . Матрица является единичной матрицей. Она выполняет роль единицы при умножении матриц.

Определение. Квадратная матрица называется обратимой если существует так, что выполняются условия

Матрица называется обратной к и обозначается , тогда если -это обратная к , то обратная к -это взаимообратные матрицы т.е.

Теорема 2

Если -обратима, то существует только одна матрица обратная к

Доказательство:

Пусть дана матрица , которая обратима и пусть существуют матрицы обратные к т.е. . Имеем

Обозначение: Множество всех обратимых матриц порядка над полем обозначается

Теорема 3

Справедливы утверждения:

1) алгебра

2) группа

Доказательство:

1) -это бинарная операция

а) Пусть , так как -обратимые матрицы, проверим, что -это бинарная операция:

обратные к

Аналогично: , обратимая матрица т.е -это бинарная операция

б) , матрица обратима, поэтому -это унарная операция

в) обратима т.е

2) Докажем второе утверждение, что группа. Для этого проверим аксиомы групп:

1)

2)

3)

группа

Следствие:

Произведение обратимых матриц есть обратимая матрица

Если обратима, то обратима