,
,
Опр. Произведением матрицы на матрицу называется матрица . , где
, где
Говорят, что есть скалярное произведение -строки матрицы на -столбец матрицы .
, где
Пример:
Свойства умножения матриц
Умножение матриц ассоциативно:
1) , если определены произведения матриц и
Доказательство:
Пусть , так как определено , то и определено , то
Определим матрицы:
а)
б)
(1) матрицы, тогда имеют одинаковую размерность
2) Покажем, что на одинаковых местах в матрицах расположены одинаковые элементы
из равенства (1) (2), (3). Подставляя (3) в (2) получим:
, тогда (4), (5). Подставляя (5) в (4) получим:
Вывод: Матрицы имеют одинаковую размерность и на одинаковых местах расположены одинаковые элементы.
Умножение матриц дистрибутивно :
Доказательство:
так как определено , то и определено , то
размерности
размерности
Матрицы имеют одинаковую размерность, покажем расположение одинаковых элементов:
,
,
Вывод: На одинаковых местах расположены одинаковые элементы.
3. , . Если определены матрицы, то доказательство проводим аналогично свойству 2.
|
|
4. , : , если определена матрица
Доказательство:
. Пусть ,
, ,
5. Умножение матриц в общем случае не коммутативно. Рассмотрим это на примере:
, тогда
Техника матричного умножения
поле скаляров, ,
Свойства:
Произведение можно рассматривать, как результат умножения столбцов матрицы на слева и как результат умножения строк матрицы на справа.
Пусть матрица , -линейная комбинация столбцов матрицы коэффициенты которой служат элементы матрицы
Пример
Пусть -матрица , тогда -линейная комбинация строк матрицы коэффициенты которой служат элементы матрицы
Пример:
Столбцы матрицы -линейная комбинация столбцов матрицы . Строки -линейная комбинация строк матрицы .
Транспонирование произведения матриц
поле скаляров, , , ,
Теорема
если , то . Обозначим: ,
Доказательство:
1) Пусть ,
- размерности , - размерности , тогда и имеют одинаковую размерность
2) , -элемента расположенный в -строке, -столбце матрицы т.е
, -произведение -строки транспонированной на столбец ,