Умножение матриц

,

,

Опр. Произведением матрицы на матрицу называется матрица . , где

, где

Говорят, что есть скалярное произведение -строки матрицы на -столбец матрицы .

, где

Пример:

Свойства умножения матриц

Умножение матриц ассоциативно:

1) , если определены произведения матриц и

Доказательство:

Пусть , так как определено , то и определено , то

Определим матрицы:

а)

б)

(1) матрицы, тогда имеют одинаковую размерность

2) Покажем, что на одинаковых местах в матрицах расположены одинаковые элементы

из равенства (1) (2), (3). Подставляя (3) в (2) получим:

, тогда (4), (5). Подставляя (5) в (4) получим:

Вывод: Матрицы имеют одинаковую размерность и на одинаковых местах расположены одинаковые элементы.

Умножение матриц дистрибутивно :

Доказательство:

так как определено , то и определено , то

размерности

размерности

Матрицы имеют одинаковую размерность, покажем расположение одинаковых элементов:

,

,

Вывод: На одинаковых местах расположены одинаковые элементы.

3. , . Если определены матрицы, то доказательство проводим аналогично свойству 2.

4. , : , если определена матрица

Доказательство:

. Пусть ,

, ,

5. Умножение матриц в общем случае не коммутативно. Рассмотрим это на примере:

, тогда

Техника матричного умножения

поле скаляров, ,

Свойства:

Произведение можно рассматривать, как результат умножения столбцов матрицы на слева и как результат умножения строк матрицы на справа.

Пусть матрица , -линейная комбинация столбцов матрицы коэффициенты которой служат элементы матрицы

Пример

Пусть -матрица , тогда -линейная комбинация строк матрицы коэффициенты которой служат элементы матрицы

Пример:

Столбцы матрицы -линейная комбинация столбцов матрицы . Строки -линейная комбинация строк матрицы .

Транспонирование произведения матриц

поле скаляров, , , ,

Теорема

если , то . Обозначим: ,

Доказательство:

1) Пусть ,

- размерности , - размерности , тогда и имеют одинаковую размерность

2) , -элемента расположенный в -строке, -столбце матрицы т.е

, -произведение -строки транспонированной на столбец ,