double arrow

Определение, обозначения и типы матриц


Мы определяем матрицу как прямоугольную таблицу чисел:

Где элементы матрицы aij (1≤i≤m, 1≤j≤n)-числа из поля .Для наших целей поле будет либо множеством всех вещественных чисел, либо множеством всех комплексных. Размер матрицы , где m-число строк, n-число столбцов. Если m=n, то говорят, что матрица квадратная, порядка n. В общем случаем матрица называется прямоугольной.

Каждой матрице с элементами aij соответствует n×m матрица с элементами aji . Она называется транспонированной к и обозначается через . Видно, что = . Строки матрицы становятся столбцами в и столбцы матрицы становятся строками в .

Матрица называется нулевой если все элементы равны 0:

Матрица называется треугольной если все ее элементы, расположенные ниже главной диагонали равны 0

Треугольная матрица называется диагональной, если все элементы расположенные вне главной диагонали равны 0

Диагональной матрица называется единичной, если все элементы расположенные на главной диагонали равны 1

Матрица, составленная из элементов, находящихся на пересечении нескольких выбранных строк матрицы и нескольких выбранных столбцов, называется субматрицей для матрицы . Если -номера выбранных строк и -номера выбранных столбцов, то субматрица это




В частности, строки и столбцы матрицы можно рассматривать как ее субматрицы.

Операции над матрицами

Определим следующие операции:

Сумма двух матриц , и с элементами и есть матрица С с элементами , запишем это как

Произведение матрицы на число поля есть матрица С с элементами , запишем как .

Произведение матрицы на матрицу есть матрица С с элементами , запишем

поле скаляров, рассмотрим , где элемент матрицы , расположенный в -строке , -столбце . Размерность матрицы .Если , то -квадратная матрица порядка . Множество -это множество всех матриц над полем .

Опр. Две матрицы равны, если они имеют одинаковую размерность и на одинаковых местах расположены одинаковые элементы. Другими словами: равна матрице , т.е

Опр. Пусть -это матрицы одинаковой размерности . Суммой матриц и называется матрица у которой в строке, столбце расположен элемент , т.е. . Другими словами: Чтобы сложить две матрицы нужно сложить соответствующие элементы:

Пример:

Опр. Пусть , , . Произведение скаляра на матрицу называется у которой в строке, столбце расположен элемент . Другими словами: Чтобы скаляр умножить на матрицу нужно все элементы матрицы умножить на скаляр .

Определение. Противоположной к матрице называется матрица

Свойства сложения и умножения матриц на скаляры:

-абелева группа

1) Сложение матриц ассоциативно и коммутативно.

2)

3)

а)

б)

4)









Сейчас читают про: