2015-01-13
878
Мы определяем матрицу как прямоугольную таблицу чисел:
Где элементы матрицы aij (1≤i≤m, 1≤j≤n)-числа из поля 
.Для наших целей поле будет либо множеством всех вещественных чисел, либо множеством всех комплексных. Размер матрицы 
, где m-число строк, n-число столбцов. Если m=n, то говорят, что матрица квадратная, порядка n. В общем случаем матрица называется прямоугольной.
Каждой матрице 
с элементами aij соответствует n×m матрица с элементами aji. Она называется транспонированной к и обозначается через 
. Видно, что 
= . Строки матрицы становятся столбцами в и столбцы матрицы становятся строками в .
Матрица называется нулевой если все элементы равны 0:
Матрица называется треугольной если все ее элементы, расположенные ниже главной диагонали равны 0
Треугольная матрица называется диагональной, если все элементы расположенные вне главной диагонали равны 0
Диагональной матрица называется единичной, если все элементы расположенные на главной диагонали равны 1
Матрица, составленная из элементов, находящихся на пересечении нескольких выбранных строк матрицы и нескольких выбранных столбцов, называется субматрицей для матрицы . Если 
-номера выбранных строк и 
-номера выбранных столбцов, то субматрица это
|
|
|
В частности, строки и столбцы матрицы можно рассматривать как ее субматрицы.
Операции над матрицами
Определим следующие операции:
Сумма двух матриц , и 
с элементами 
и 
есть матрица С с элементами 
, запишем это как 
Произведение матрицы на число 
поля есть матрица С с элементами 
, запишем как 
.
Произведение 
матрицы на 
матрицу есть матрица С с элементами 
, запишем 
поле скаляров, рассмотрим 
, где элемент матрицы , расположенный в 
-строке 
, 
-столбце 
. Размерность матрицы .Если 
, то -квадратная матрица порядка 
. Множество 
-это множество всех матриц над полем 
.
Опр. Две матрицы равны, если они имеют одинаковую размерность и на одинаковых местах расположены одинаковые элементы. Другими словами: 
равна матрице 
, т.е 
Опр. Пусть 
-это матрицы одинаковой размерности . Суммой матриц и называется матрица у которой в строке, столбце расположен элемент 
, т.е. 
. Другими словами: Чтобы сложить две матрицы нужно сложить соответствующие элементы:
Пример:
Опр. Пусть 
, 
, 
. Произведение скаляра на матрицу называется у которой в строке, столбце расположен элемент 
. Другими словами: Чтобы скаляр умножить на матрицу нужно все элементы матрицы умножить на скаляр .
Определение. Противоположной к матрице называется матрица 
Свойства сложения и умножения матриц на скаляры:
-абелева группа
1) Сложение матриц 
ассоциативно и коммутативно.
|
|
|
2) 
3) 
а) 
б) 
4) 
