Теорема (формула Коши-Бине )

Пусть , - и -матрицы соответственно, и

Тогда

Другими словами, при определитель матрицы является суммой произведений всевозможных миноров порядка в на соответствующие миноры матрицы того же самого порядка.

Упражнение1. Покажем на примере

Пусть , , и , тогда по формуле Коши-Бине:

Доказательство теоремы:

Так как , то можно записать

Определитель-это аддитивная и однородная функция каждого из своих столбцов. Используя этот факт для каждого из столбцов в , выражаем в виде суммы определителей:

Те члены в суммировании, которые имеют совпадающие два или более индексов , равны нулю, так как в этих случаях миноры будут иметь по крайней мере два совпадающих столбца. Таким образом, нужно рассматривать лишь те членов суммирования, в которых индексы различны. Мы распределяем эти остающиеся члены на групп по членов в каждой таким образом, чтобы в каждой группе члены отличаются лишь порядком индексов . Отметим также, что можно написать

, где . Следовательно, сумма по членам, в которых -перестановка чисел , задается выражением:

Переставляя элементы так, чтобы первые индексы в возрастающем порядке, приводим это выражение к виду:

где -перестановка чисел , как очевидно . Из определителя функции определителя теперь следует, что это выражение есть просто:

Следствие. Определитель произведения двух кратных матриц равен произведению определители множителей.

Это следует из Теоремы при