2015-01-13
6400
Пусть 
, 
- 
и 
-матрицы соответственно, 
и 
Тогда 
Другими словами, при определитель матрицы 
является суммой произведений всевозможных миноров порядка 
в на соответствующие миноры матрицы того же самого порядка.
Упражнение1. Покажем на примере
Пусть 
, 
, 
и 
, тогда по формуле Коши-Бине:
Так как 
, то можно записать 
Определитель-это аддитивная и однородная функция каждого из своих столбцов. Используя этот факт для каждого из столбцов в 
, выражаем в виде суммы 
определителей:
Те члены в суммировании, которые имеют совпадающие два или более индексов 
, равны нулю, так как в этих случаях миноры будут иметь по крайней мере два совпадающих столбца. Таким образом, нужно рассматривать лишь те 
членов суммирования, в которых индексы 
различны. Мы распределяем эти остающиеся члены на 
групп по 
членов в каждой таким образом, чтобы в каждой группе члены отличаются лишь порядком индексов . Отметим также, что можно написать
, где 
. Следовательно, сумма по членам, в которых -перестановка чисел , задается выражением: 
Переставляя элементы 
так, чтобы первые индексы в возрастающем порядке, приводим это выражение к виду:
где 
-перестановка 
чисел 
, как очевидно 
. Из определителя функции определителя теперь следует, что это выражение есть просто:
Следствие. Определитель произведения двух кратных матриц равен произведению определители множителей.
Это следует из Теоремы при 
