Сравнение исправленной выборочной дисперсии с гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности

Пусть генеральная совокупность распределена нормально, причем генеральная дисперсия хотя и неизвестна, но имеются основания предполагать, что она равна гипотетическому (предполагаемому) значению σ₀² . На практике σ₀² устанавливается на основании предшествующего опыта или теоретически.

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка объема n и по ней найдена исправленная выборочная дисперсия S² с k = n-1 степенями свободы. Требуется по исправленной дисперсии при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что генеральная дисперсия рассматриваемой совокупности равна гипотетическому значению σ₀².

Учитывая, что S² является несмещенной оценкой генеральной дисперсии, нулевую гипотезу можно записать так: H₀:M(S²)= σ₀²

Итак, требуется проверить, что математическое ожидание исправленной дисперсии равно гипотетическому значению генеральной дисперсии. Другими словами, требуется установить, значимо или незначимо различаются исправленная выборочная и гипотетическая генеральная дисперсии.

На практике рассматриваемая гипотеза проверяется, если нужно проверить точность приборов, инструментов, станков, методов исследования и устойчивость технологических процессов. Например, если известна допустимая характеристика рассеяния контролируемого размера деталей, изготавливаемых станком-автоматом, равная σ₀², а найденная по выборке окажется значимо больше σ₀², то станок требует подналадки.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину (n-1)S²/σ₀². Эта величина случайная, потому что в разных опытах S² принимает различные, наперед неизвестные значения. Поскольку можно доказать, что она имеет распределениеχ² с k=n-1 степенями свободы, обозначим ее через χ².

Итак, критерий проверки нулевой гипотезы χ²=(n-1)S²/σ₀².

Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы.

Первый случай. Нулевая гипотеза H₀:σ²= σ₀². Конкурирующая гипотеза H₁:σ²= σ₀².

В этом случае строят правостороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости:

P[χ²> χ²_кр(α;k)]= α

Критическую точкуχ²_кр(α;k) находят по таблице критических точек распределения χ², и тогда правосторонняя критическая область определяется неравенством χ²> χ²_кр, а область принятия нулевой гипотезы - неравенством χ²< χ²_кр

Обозначим значение критерия, вычисленное по данным наблюдений, через χ²_набл и сформулируем правило проверки нулевой гипотезы.

Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу H₀:σ²= σ₀²о равенстве неизвестной генеральной дисперсии нормальной совокупности гипотетическому значению при конкурирующей гипотезе H₁:σ²> σ₀², надо вычислить наблюдаемое значение критерия χ²_набл=(n-1)S²/σ₀² и по таблице критических точек распределения χ², по заданному уровню значимости α и числу степеней свободы k=n-1 найти критическую точку χ²_кр(α;k).

Если χ²_набл < χ²_кр- нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если χ²_набл >χ²_кр - нулевую гипотезу отвергают.

Второй случай. Нулевая гипотеза H₀:σ²= σ₀². Конкурирующая гипотеза H₁:σ²≠σ₀².

В этом случае строят двустороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости α.

Критические точки - левую и правую границы критической области - находят, требуя, чтобы вероятность попадания критерия в каждой из двух интервалов критической области была равна α/2:

P[χ² <χ²_лев.кр(α/2;k)]= α/2,

P[χ²> χ²_{прав.кр}(α/2;k)]= α/2

В таблице критических точек распределения χ² указаны лишь «правые» критические точки, поэтому возникает кажущееся затруднение в отыскании «левой» критической точки. Это затруднение легко преодолеть, если принять во внимание, что события χ² <χ²_лев.кр и χ²> χ²_{прав.кр} противоположны и, следовательно, сумма их вероятностей равна единице:

P(χ² <χ²_лев.кр)+ P(χ²> χ²_{прав.кр})=1

Отсюда

P(χ² <χ²_лев.кр)=1- P(χ²> χ²_{прав.кр})=1-(α/2).

Мы видим, что левую критическую точку можно искать как правую (и значит, ее можно найти по таблице), исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в интервал, расположенный правее этой точки, была равна 1—(α/2).

Правило 2. Для того чтобы при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу о равенстве неизвестной генеральной дисперсии σ² нормальной совокупности гипотетическому значению σ₀², при конкурирующей гипотезе H₁:σ²≠σ₀², надо вычислить наблюдаемое значение критерия χ²_набл=(n-1)S²/σ₀² и по таблице найти левую критическую точку χ²_кр(1-α/2;k) и правую критическую точку χ²_кр(α/2;k).

Если χ²_лев.кр <χ²_набл < χ²_{прав.кр} – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если χ²_набл < χ²_лев.кр или χ²_набл > χ²_{прав.кр} – нулевую гипотезу отвергают.

Третий случай. Конкурирующая гипотеза H₁:σ²<σ₀²

Правило 3. При конкурирующей гипотезе H₁:σ²<σ₀² находят критическую точку χ²_кр(1-α;k).

Если χ²_набл > χ²_кр(1-α; k)- нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если χ²_набл < χ²_кр(1-α; k)- нулевую гипотезу отвергают.

Замечание 1. В случае, если найдена выборочная дисперсия D_B, в качестве критерия принимают случайную величинуχ^2’=nD_B/σ₀², которая имеет распределение χ² с k=n-1 степенями свободы, либо переходят к s²=[n/(n-1)]D_B.

Замечание 2. Если число степеней свободы k>30, то критическую точку можно найти приближенно по равенству Уилсона – Гилферти χ²_кр(α; k)=k[1-(2/9k)+z_α (2/9k) ½]³ где z_α определяют, используя функцию Лапласа, по равенству Ф(z_α) = (1-2α)/2.