Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей

На практике задача сравнения дисперсий возникает, если требуется сравнить точность приборов, инструментов, самих методов измерений и т. д. Очевидно, предпочтительнее тот прибор, инструмент и метод, который обеспечивает наименьшее рассеяние результатов измерений, т. е. наименьшую дисперсию.

Пусть генеральные совокупности X и Y распределены нормально. По независимым выборкам с объемами, соответственно равными n₁ и n₂, извлеченным из этих совокупностей, найдены исправленные выборочные дисперсии s_x² и s_y². Требуется по исправленным дисперсиям при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что генеральные дисперсии рассматриваемых совокупностей равны между собой: H₀:D(X)=D(Y)

Учитывая, что исправленные дисперсии являются несмещенными оценками генеральных дисперсий, т. е. Μ[s_x²]=D(X) и Μ[s_y²]=D(Y) нулевую гипотезу можно записать так: H₀:Μ[s_x²]=Μ[s_y²]

Таким образом, требуется проверить, что математические ожидания исправленных выборочных дисперсий равны между собой. Такая задача ставится потому, что обычно исправленные дисперсии оказываются различными. Возникает вопррс: значимо (существенно) или незначимо различаются исправленные дисперсии?

Если окажется, что нулевая гипотеза справедлива, т. е. генеральные дисперсии одинаковы, то различие исправленных дисперсий незначимо и объясняется случайными причинами, в частности случайным отбором объектов выборки. Например, если различие исправленных выборочных дисперсий результатов измерений, выполненных двумя приборами, оказалось незначимым, то приборы имеют одинаковую точность.

Если нулевая гипотеза отвергнута, т. е. генеральные дисперсии неодинаковы, то различие исправленных дисперсий значимо и не может быть объяснено случайными причинами, а является следствием того, что сами генеральные дисперсии различны. Например, если различие исправленных выборочных дисперсий результатов измерений, произведенных двумя приборами, оказалось значимым, то точность приборов различна.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы о равенстве генеральных дисперсий примем отношение большей исправленной дисперсии к меньшей, т. е. случайную величину F= S_б²/S_м²

Величина F при условии справедливости нулевой гипотезы имеет распределение Фишера - Снедекора со степенями свободы k₁=n₁-1 и k₂=n₂-1, где n₁- объем выборки, по которой вычислена большая исправленная дисперсия, n₂ - объем выборки, по которой найдена меньшая дисперсия. Напомним, что распределение Фишера - Снедекора зависит только от чисел степеней свободы и не зависит от других параметров.

Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы.

Первый случай. Нулевая гипотеза H₀:D(X)=D(Y). Конкурирующая гипотеза H₁:D(X)>D(Y).

В этом случае строят одностороннюю, а именно правостороннюю, критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия F в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости: P[F>F_кр(α; k₁, k₂)]= α.

Критическую точку F_кр(α; k₁, k₂) находят по таблице критических точек распределения Фишера - Снедекора, и тогда правосторонняя критическая область определяется неравенством F>F_кр, а область принятия нулевой гипотезы - неравенством F<F_кр.

Обозначим отношение большей исправленной дисперсии к меньшей, вычисленное по данным наблюдений, через F_набл и сформулируем правило проверки нулевой гипотезы.

Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу H₀:D(X)=D(Y) о равенстве генеральных дисперсий нормальных совокупностей при конкурирующей гипотезе H₁:D(X)>D(Y), надо вычислить отношение большей исправленной дисперсии к меньшей, т. е. F_набл=s_б²/s_м², и по таблице критических точек распределения Фишера - Снедекора, по заданному уровню значимости α и числам степеней свободы k₁ и k₂ (k₁ -число степеней свободы большей исправленной дисперсии) найти критическую точку F_набл(α; k₁, k₂).

Если F_набл<F_кр - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если F_набл>F_кр - нулевую гипотезу отвергают.

Второй случай. Нулевая гипотеза H₀:D (X)=D(Y). Конкурирующая гипотеза H₁:D(X)≠D(Y).

В этом случае строят двустороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости α..

Как выбрать границы критической области? Оказывается, что наибольшая мощность (вероятность попадания критерия в критическую область при справедливости конкурирующей гипотезы) достигается тогда, когда вероятность попадания критерия в каждый из двух интервалов критической области равна α/2.

Таким образом, если обозначить через F₁ левую границу критической области и через F₂ - правую, то должны иметь место соотношения (рис.): P(F< F₁) = α /2, Р (F > F₂) = α /2.

Мы видим, что достаточно найти критические точки, чтобы найти саму критическую область: F < F₁, F > F₂, а также область принятия нулевой гипотезы: F₁ < F < F₂. Как практически отыскать критические точки?

Правую критическую точку (F_α =F_кр)=(α /2; k₁,k₂) находят непосредственно по таблице критических точек распределения Фишера - Снедекора по уровню значимости α /2 и степеням свободы k₁ и k₂.

Однако левых критических точек эта таблица не содержит и поэтому найти F₁ непосредственно по таблице невозможно. Существует способ, позволяющий преодолеть это затруднение. Однако мы не будем его описывать, поскольку можно левую критическую точку и не отыскивать. Ограничимся изложением того, как обеспечить попадание критерия F в двустороннюю критическую область с вероятностью, равной принятому уровню значимости α..

Оказывается, достаточно найти правую критическую точку F₂ при уровне значимости, вдвое меньшем заданного. Тогда не только вероятность попадания критерия в «правую часть» критической области (т. е. правее F₂) равна α/2, но и вероятность попадания этого критерия в «левую часть» критической области (т. е. левее F₁) также равна α /2. Так как эти события несовместны, то вероятность попадания рассматриваемого критерия во всю двустороннюю критическую область будет равна α /2 + α /2 = α.

Таким образом, в случае конкурирующей гипотезы H₁:D(X)≠D(Y) достаточно найти критическую точку

F₂ = F_кр(α /2; k₁, k₂).

Правило 2. Для того чтобы при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий нормально распределенных совокупностей при конкурирующей гипотезе Н₁:О(Х) ≠ D(У), надо вычислить отношение большей исправленной дисперсии к меньшей, т. е. F_набл=s_б²/s_м² и по таблице критических точек распределения Фишера-Снедекора по уровню значимости а α /2 (вдвое меньшем заданного) и числам степеней свободы k₁ и k₂ (k₁—число степеней свободы большей дисперсии) найти критическую точку F_кр(α /2; k₁, k₂).

Если F_набл<F_кр -нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если F_набл>F_кр -нулевую гипотезу отвергают.