Лекция №6. 6. 1. Метод Жордана-Гаусса решения систем линейных уравнений

6.1. Метод Жордана-Гаусса решения систем линейных уравнений

Пусть дана система линейных уравнений:

(1)

В матрице А выберем отличный от нулю элемент . Этот элемент называется разрешающим элементом, p-ый столбец матрицы А – разрешающим столбцом, а q-ая строка – разрешающей.

Рассмотрим новую систему уравнений:

(2)

с матрицей ; коэффициенты и свободные члены этой системы определяются по формулам

если .

В частности , если Если же , то принимаем , . Таким образом q-е уравнение в системах (1) и (2) одинаково, а коэффициенты при во всех уравнениях системы (2), кроме q-го, равны нулю.

Следует иметь в виду, что системы (1) и (2) одновременно совместны или несовместны. В случае совместности эти системы равносильны (их решения совпадают).

Для определения элемента матрицы полезно иметь в виду так называемое “правило прямоугольника”.

Рассмотрим 4 элемента матрицы А: (элемент, подлежащий преобразованию) (разрешающий элемент) и элементы и . Для нахождения элемента следует из элемента вычесть произведение элементов , расположенных в противоположных вершинах прямоугольника, деленное на разрешающий элемент

Аналогичным образом можно преобразовать систему (2) приняв за разрешающий элемент матрицы элемент , причем s q, После этого преобразования все коэффициенты при , кроме обратятся в нуль. Полученная система может быть снова преобразована и т.д. Если r = n (ранг системы равен числу неизвестных), то после ряда преобразований придем к системе уравнений вида

из которой находятся значения неизвестных.

Описанный метод решения, основанный на последовательном исключении неизвестных, называется методом Жордана-Гаусса.

Пример. Решить систему уравнений методом Жордана-Гаусса

Запишем коэффициенты, свободные члены и суммы коэффициентов и свободных ( – контрольный столбец) членов в следующую таблицу



-2
	-1	-1

Возьмем за разрешающий элемент коэффициент при , в первом уравнение. Перепишем таблицу, где первая строка будет без изменения, а все элементы первого столбца будут равны нулю.

Применив правило прямоугольника, заполним остальные клетки.




-9	-13	-9	-31

=4- = 22 =5- = -31.

За разрешающий элемент возьмем коэффициент при во втором уравнении. Перепишем таблицу, где вторая строка будет без изменения, а элементы второго столбца будут равны нулю (кроме разрешающего элемента).

Остальные клетки заполним, применив правило прямоугольника.




				-

; =-31-

Первую и третью строку умножим на 7




		-19		-19




		-19		-19

За разрешающий элемент возьмем коэффициент при в третьем уравнении. Перепишем таблицу, где третья стока будет без изменения, элементы третьего столбца будут равны нулю, кроме разрешающего элемента.

Остальные клетки заполним, применив правило прямоугольника.