Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса

Для исследования систем линейных уравнений и нахождения их решений можно использовать метод Гаусса.

Метод Гаусса состоит из двух этапов – прямой и обратный ход.

На первом этапе (прямой ход) расширенная матрица системы приводится к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований. Определяя ранг, полученной ступенчатой матрицы делаем вывод о совместности или несовместности, определенности или неопределенности системы линейных уравнений.

На втором этапе (обратный ход) полученной ступенчатой матрице составляют, соответствующую систему уравнений

Исследовать системы линейных уравнений означает определить, совместна или нет, а для совместной системы – вычислить, определенна она или нет. При этом возможны три случая:

1) Если < то система несовместна.

2) Если (где n число неизвестных), то система совместна и определенна.

3) Если < , то система совместна и неопределенна.

где - ранг матрицы системы,

где ранг расширенной матрицы системы.

Пример 1. Исследовать системы линейных уравнений. Для совместных систем найти общее и одно частное решение:

Решение.

Запишем расширенную матрицу системы и приведем к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований.

~ ~

система несовместна (т.е. нет решений)

Ответ: несовместна (нет решений).

Пример 2.

Решение.

Запишем расширенную матрицу системы и приведем к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований.

~ ~

система совместна и определенна (т.е. имеет
- (число неизвестных) един. решение)

.

Ответ: (-17;4;4).

Пример 3. Решить систему методом Гаусса

Решение.

Запишем расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований.

~ ~

~

< система имеет бесконечное множество решений.

Запишем систему соответствующую полученной матрице:

Обозначим свободные переменные: через , через .

Общее решение системы

Если положить, например, , то найдем одно частное решение

I:

S: Матрица системы имеет вид

-:

-:

-:

-:

I:

S: Расширенная матрица системы имеет вид

-:

-:

-:

-:

I:

S: Решение системы есть

-: (-1; 1; -2)

-: (2; 1; 3)

-: (0; 5; 1)

-: (-2; 0; 0)

I:

S: Ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы и меньше числа неизвестных, то система имеет

-: бесконечное множество решений

-: единственное решение

-: не имеет решений

-: только нулевое решение

I:

S: Ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы и числу неизвестных, то система имеет

-: единственное решение

-: бесконечное множество решений

-: не имеет решений

-: только нулевое решение

I:

S: Ранг матрицы системы меньше ранга расширенной матрицы, то система

-: не имеет решений

-: единственное решение

-: бесконечное множество решений

-: только нулевое решение

I:

S: Матрица вида системы линейных уравнений, состоящая из коэффициентов называется

-: матрицей системы

-: расширенной матрицей

-: определителем

-: столбцом неизвестных