Проекция вектора на ось. Пусть – произвольный вектор

Пусть – произвольный вектор . Обозначим через А₁ и В₁ проекции на ось l соответственно начала А и конца В вектора и рассмотрим вектор .

Проекцией вектора на ось l называется положительное число , если вектор и ось l одинаково направлены и отрицательное число , если вектор и ось l противоположно направлены (см. рис. 8). Если точки А₁ и В₁ совпадают , то проекция вектора равна нулю. Если Проекция вектора на ось l обозначается так: пр _l . Если или , то пр _l .

Угол φ между вектором и осью l (или

угол между двумя векторами) изображен на рисунке 9. Очевидно, .

Рассмотрим некоторые основные свойства проекций.

Свойство 1. Проекция вектора на ось l равна произведению модуля вектора на косинус угла φ между вектором и осью, т.е. пр­ _l .

Если , то пр _l .

Если , то пр _l

(см. рис. 10).

Если , то пр _l .

Свойство 2. Проекция суммы нескольких векторов на одну и ту же ось равна сумме их проекций на эту ось.

Пусть, например, . Имеем пр _l­­ , т.е. пр _l пр _l + пр _l + пр _l (см. рис. 11).

Свойство 3. При умножении вектора на число λ его проекция на ось также умножается на это число, т.е.

пр _l .

При имеем пр _l

(свойство 1)

пр _l .

При : пр _l

пр _l .

Свойство справедливо, очевидно, и при .