Векторы. Линейные операции над векторами

Вектором называется направленный отрезок.

Вектор с началом в точке А и концом в точке В обозначается символом или . Длина отрезка АВ называется длиной, или модулям вектора .

Вектор длина, которого равна единице, называется единичным и обозначается .

Вектор длина, которого равна нулю, называется нулевым и обозначается .

Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора , называется ортом и обозначается .

Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными.

Три (и более) вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Два коллинеарных вектора называются равными (), если они сонаправлены и имеют равные длины.

Углом между векторами называется угол при вершине этого треугольника, соответствующий началу векторов. Сумой двух векторов называется вектор , соединяющий начало вектора с концом вектора , отложенного от конца вектора .

Для геом. представления суммы векторов используется правила «треугольников» и «параллелограмма».

Рис.1

О

Произведением вектора на скаляр (число) называется вектор ( или ), который имеет длину , коллинеарен вектору имеет направление вектора ,

если и противоположное направление, если . Например, если дан вектор,

то векторы и будут иметь вид и.

Из определения произведения вектора на число следуют свойства этого произведения:

1) если , то || . Наоборот, если || , (), то при некотором верно равенство ;

2) всегда , т.е. каждый вектор равен произведению его модуля на орт.

Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

5. .

Эти свойства позволяют проводить преобразования в линейных операциях с вектором так, как это делается в обычной алгебре: слагаемые менять местами, вводить скобки, группировать, выносить за скобки как скалярные, так и векторные общие множители