Уравнение Бернулли

Выделим в стационарно текущей идеальной жидкости (физическая абстракция. т. е. воображаемая жидкость, в которой отсутствуют силы внутреннего трения) трубку тока, ограниченную сечениями и , по которой слева направо течет жидкость (рис. 47).

Рис. 47

Пусть в месте сечения скорость течения , давление и высота, на которой это сечение расположено, . Ана­логично, в месте сечения скорость течения , давление и высота сечения . За малый промежуток времени жидкость перемещается от сечений и к сечениям .

Согласно закону сохранения энергии, изменение полной энергии идеальной несжимаемой жидкости должно быть равно работе А внешних сил по перемещению массы т жидкости:

(30.1)

где — полные энергии жидкости массой т в местах сечений соответственно.

С другой стороны, А — это работа, совершаемая при перемещении всей жидкости, заключенной между сечениями , за рассматриваемый малый промежуток времени . Для перенесения массы m от до жидкость должна переместиться на расстояние и от до — на расстояние . Отметим, что и настолько малы, что всем точкам объемов, закрашенных на рис. 47, приписывают постоянные значения скорости v, давления р и высоты h. Следовательно,

(30.2)

где и (отрицательна, так как направлена в сторону, противоположную течению жидкости, см. рис.47).

Полные энергии и будут складываться из кинетической и потенциальной энергий массы m жидкости:

(30.3)

(30.4)

Подставляя (30.3) и (30.4) в (30.1) и приравнивая (30.1) и (30.2), получим

(30.5)

Согласно уравнению неразрывности для несжимаемой жидкости (29.1), объем, занимаемый жидкостью, остается постоянным, т. е.

Разделив выражение (30.5) на получим

где — плотность жидкости. Но так как сечения выбирались произвольно, то можем записать

(30.6)

Выражение (30.6) выведено швейцарским физиком Д. Бернулли (1700—1782; опубликовано в 1738 г.) и называется уравнением Бернулли. Как видно из его вывода, это уравнение — выражение закона сохранения энергии применительно к установившемуся течению идеальной жидкости. Оно хорошо выполняется и для реальных жидкостей, внутреннее трение которых не очень велико.

Величина р в формуле (30.6) называется статическим давлением (давление жидкости на поверхность обтекаемого ею тела), величина — динамическим давлением. Как уже указывалось выше (см. § 28), величина представляет собой гидростатическое давление.

Для горизонтальной трубки тока () выражение (30.6) принимает вид

(30.7)

где называется полным давлением.

Рис.48

Из уравнения Бернулли (30.7) для горизонтальной трубки тока и уравнения неразрывности (29.1) следует, что при течении жидкости по горизонтальной трубе, имеющей различные сечения, скорость жидкости больше в местах сужения, а статическое давление больше в более широких местах, т. е. там, где скорость меньше. Это можно продемонстрировать, установив вдоль трубы ряд манометров (рис.48). В соответствии с уравнением Бернулли опыт показывает, что в манометрической трубке В, прикрепленной к узкой части трубы, уровень жидкости ниже, чем в манометрических трубках А и С, прикрепленных к широкой части трубы.

Так как динамическое давление связано со скоростью движения жидкости (газа), то уравнение Бернулли позволяет измерять скорость потока жидкости. Для этого применяется трубка Пито — Прандтля (рис.49). Прибор состоит из двух изогнутых под прямым углом трубок, противоположные концы которых присоединены к манометру. С помощью одной из трубок измеряется полное давление (), с помощью другой — статическое (р). Манометром измеряется разность давлений:

(30.8)

где — плотность жидкости в манометре. С другой стороны, согласно уравнению Бернулли, разность полного и статического давлений равна динамическому давлению:

(30.9)

Рис. 49

Вода+воздух

Рис 50

Из формул (30.8) и (30.9) получаем искомую скорость потока жидкости:

Уменьшение статического давления в точках, где скорость потока больше, положено в основу работы водоструйного насоса (рис.50). Струя воды подается в трубку, открытую в атмосферу, так что давление на выходе из трубки равно атмосферному. В трубке имеется сужение, по которому вода течет с большей скоростью. В этом месте давление меньше атмосферного. Это давление устанавливается и в откачанном сосуде, который связан с трубкой через разрыв, имеющийся в ее узкой части. Воздух увлекается вытекающей с большой скоростью водой из узкого конца. Таким образом можно откачивать воздух из сосуда до давления 100 мм рт. ст. (1 мм рт. ст. =133,32 Па).

Уравнение Бернулли используется для нахождения скорости истечения жидкости через отверстие в стенке или дне сосуда. Рассмотрим цилиндрический сосуд с жидкостью, в боковой стенке которого на не­которой глубине ниже уровня жидкости имеется маленькое отверстие (рис.51).

Рассмотрим два сечения (на уровне свободной поверхности жидкости в сосуде и на уровне выхода ее из отверстия). Напишем для них уравнение Бернулли:

Так как давления и в жидкости на уровнях первого и второго сечений равны атмосферному, т. е. = , то уравнение будет иметь вид

Из уравнения неразрывности (29.1) следует, что , где и — площади поперечных сечений сосуда и отверстия. Если >> , то членом можно пренебречь и

Это выражение получило название формулы Торричелли (Э. Торричелли (1608—1647) — итальянский физик и математик).