Линейные уравнения

Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно линейно относительно неизвестной функции и её производной, т. е. содержит у и у ′ в первой степени.

Линейное уравнение можно привести к виду

y' + p(x)y = q (х) (9)

где р (х) и q (х) – заданные непрерывные функции от х (или постоянные).

В частности, уравнение y' + p(x)y =0называется линейным без правой части или линейным однородным.

В линейном однородном уравнении переменные разделяются:

и поэтому его интегрирование сводится к вычислению интегралов от обеих частей равенства:

.

Для того чтобы решить уравнение (9) при q (х) ≠ 0, будем искать неизвестную функцию у в виде произведения двух пока неизвестных функций от х, т. е. положим у = и (х) v (х). Тогда у' = и' (х) v (х) + и (х) v' (х). Подставив значения у и y ′ в уравнение (9):

и' v + иv' + иv p(x) = q (х),

после группировки получим

v [ и' + иp(x) ]+ иv' = q (х) (9′)

Так как у есть произведение двух функций то одна из них может быть выбрана произвольно, другая же должна определяться уравнением (9′).

Выберем и (х) так, чтобы выражение, стоящее в квадратных скобках, об­ращалось в нуль, т. е. и' + иp(x) = 0. Это уравнение с разделяющимися пере­мен­ными:

откуда

или

Для большей простоты выкладок берем частное решение , отве­чающее значению С ₁ = 0. Подставив найденное значение и (х) в уравнение (9′), получим (учитывая, что

Подставив и (х) и v (х) в формулу у = и (х) v (х), найдем общее решение уравнения (9). Уравнение (9) может быть решено методом вариации произвольной посто­янной, который будет рассмотрен ниже.

Пример. Решить дифференциальное уравнение y' + 2 xy = 2 x ² e ^{- x 2}.

Решение. Положим у = иv, тогда y' = u'v + v'u; подставим у и у ′ в данное уравнение:

. (*)

Так как одну из вспомогательных функций и или v можно взять произвольно, то выберем в качестве и какой-либо частный интеграл уравнения или . Проинтегрировав, получим ln| u | = − x ² (С = 0), откуда u = e ^{- x 2} _. Подставив это выражение в уравнение (*), получим

отсюда находим

и, следовательно, общим решением будет

1.5. Уравнение Бернулли

Уравнением Бернулли называется дифференциальное уравнение первого порядка вида

y' + p(x)y = q (х) у ^m, (10)

где m ¹0 и m ¹ 1 (в противном случае получилось бы линейное уравнение). Как и линейное, уравнение Бернулли можно проинтегрировать с помощью подстановки у = и (х) v (x) или свести к линейному уравнению с помощью подстановки z = y ^{1 -m} . Разделив обе части уравнения на у^m, получим

y ^-m y' + p(x) y ^{1 -m} = q (х) (10 ')

Сделаем далее замену: z = y ^{1 -m} . Тогда

Подставив z и dz / dx в уравнение (10′), будем иметь линейное уравнение

Решая это уравнение и переходя от z снова к у, получим решение исходного уравнения.

Пример. Решить уравнение.

Решение. Разделив все члены уравнения на , получим

(*)

Введем новую функцию y = , тогда

Подставив эти значения в уравнение (*), получим линейное уравнение

(**)

Найдем его общий интеграл:

Для определения v получим уравнение

Интегрируя, найдем

Следовательно, решением уравнения (**) будет функция а исходного −