Неразрывным сплошным движением жидкости называется такое движение, когда внутри потока отсутствуют пустоты, нет разрыва струи.
Рассмотрим русло. В русле поток жидкости.
Выделим в русле элементарный прямоугольный параллелепипед с ребрами dx, dy и dz (параллелепипед неподвижен относительно стенок русла). Через стенки параллелепипеда течет сжимаемая жидкость (.
X |
Y |
Z |
Для составления ОБС определяем прежде всего субстанцию, для которой составляется ОБС; в качестве таковой служит масса жидкости.
Пространственным контуром является прямоугольный параллелепипед неподвижный относительно стенок русла.
|
|
Временной интервал – элементарный промежуток времени - .
В условиях неразрывности потока жидкости действует закон сохранения массы, поэтому из ОБС выпадают Источники и Стоки: +Пр – Ух = Нак
Составляем ОБС для параллелепипеда за время dt в направлении оси Х (потом Y и Z – по аналогии).
– приход жидкости, показывает массу жидкости которая вошла через левую грань параллелепипеда за время dt:
, где - плотность жидкости, которая может изменяться во времени и по координатам; – удельная массовая скорость жидкости.
– уход жидкости, показывает сколько жидкости вышло через правую грань за время dt:
.
.
По аналогии записываем разности приходов и уходов для двух других направлений:
; ;
Таким образом левая часть ОБС представляет собой выражение:
.
Остается выразить правую часть ОБС, а именно: Накопление массы жидкости в контуре за время dt. Количество массы в объеме параллелепипеда в момент времени равно . Полагая, что плотность жидкости является функцией только времени (в пределах выделенного объема), то Накопление массы жидкости в объеме параллелепипеда к моменту времени записывается в частных производных:
(т.к. выделенный объем неизменен).
Собирая теперь найденные выше элементы ОБС, получаем после упрощения уравнение неразрывности в виде
Решение системы уравнений Навье-Стокса для частного случая: жидкость идеальна (m=0); несжимаемая (капельная ρ=const); среди внешних массовых сил действует только сила тяжести; движение жидкости стационарное и безвихревое. Диаграмма Бернулли для идеальной жидкости.
|
|
(безвихревое,– отсутствует вращательная составляющая жидкой частицы )
Для указанных условий решение уравнений Навье – Стокса получают в виде интеграла Бернулли
Каждый член уравнения имеет определенный физический смысл. (Размерность каждого члена этого уравнения . Умножим числитель и знаменатель на кг. Тогда получим размерность удельной энергии В этом случае первый член – удельная потенциальная энергия положения жидкости; второй – удельная потенциальная энергия давления жидкости; третий – удельная кинетическая энергия жидкости. Сумма этих удельных энергий представляет собой полную удельную энергию жидкости, которая одинакова в любом сечении потока.
Поделив обе части уравнения Бернулли на g, получим
.
В практическом смысле уравнение Бернулли принято записывать для двух сечений потока
Размерность каждого члена уравнения – метр. Следовательно, существует и геометрический смысл каждого члена уравнения Бернулли: первый – нивелирная высота, второй – пьезометрическая высота, третий – скоростная высота. Сумма указанных высот потока идеальной жидкости при плоскости отсчета взятой произвольно, не зависит от выбранного сечения, т.е. остается величиной постоянной. Наряду с термином «высота» в гидравлике для этих слагаемых используют термин «напор». Сумму трех слагаемых называют полным напором.
На рисунке представлена графическая интерпретация уравнения Бернулли для безвихревого потока идеальной жидкости в форме так называемой диаграммы Бернулли.
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
3 |
3 |
С |
С |
В |
В |
А |
А |
Z1 |
Z2 |
Z3 |
0 |
0 |
Диаграмма Бернулли для безвихревого потока идеальной жидкости в прямом трубопроводе постоянного поперечного сечения: О – О линия плоскости отсчета; А – А линия нивелирных высот; В – В линия пьезометрических высот; С – С линия полного напора. |
При решении задач это уравнение должно быть дополнено уравнением неразрывности в интегральной форме.