Расчет средних величин (среднего значения, моды и медианы) и показателей вариации в дискретном вариационном ряду

а. На основании данных дискретного вариационного ряда (табл. 3.1) определим среднее значение размера балансовой прибыли по формуле средней арифметической
взвешенной:

млн. руб.

б. В дискретном вариационном ряду предприятий по размеру балансовой прибыли наиболее часто (5 раз) встречаются значения балансовой прибыли 76 млн. руб.

Значит, Мо = 76 млн. руб.

в. Определим медиану в 2 шага:

1 шаг. Определение местоположения (номера) медианы в ряду:

. Это значит, что медиана находится между 20 и 21 по порядку предприятием.

2 шаг. Определим численное значение медианы.

Поскольку медиана делит ряд пополам и ряд имеет четное число вариант
(п = 40), медиану можно рассчитать как среднюю арифметическую простую из значений прибыли 20 и 21 предприятий.

На 20 месте в дискретном ряду распределения предприятий находится предприятие с размером балансовой прибыли 78,5 млн. руб., на 21 месте – предприятие с размером прибыли 82,5 млн.руб. (табл. 3.1, столбец 5).

Значит, медиана равна: млн. руб.

г. Показатели вариации:

- размах вариации:

110 – 50 = 60 млн. руб.;

- среднее линейное отклонение в дискретном вариационном ряду определяется по следующей формуле:

- дисперсия признака в дискретном ряду рассчитывается:

- среднее квадратическое отклонение:

млн. руб.;

- коэффициент осцилляции:

;

- линейный коэффициент вариации:

;

- коэффициент вариации:

Вывод: как видим, показатели вариации, рассчитанные по несгруппированным данным и дискретному вариационному ряду, полностью совпадают.

3. Расчет средних величин и показателей вариации в равноинтервальном
вариационном ряду

а. По данным равноинтервального вариационного ряда распределения предприятий по размеру балансовой прибыли (табл. 3.4 = табл. 5.1) определим средний размер прибыли по формуле средней арифметической взвешенной через середины интервалов:

млн. руб.

Таким образом, среднее значение размера балансовой прибыли сорока предприятий Вологодской области составляет 80,3 млн. руб.

Таблица 5.1

Равноинтервальный вариационный ряд 40 предприятий
по размеру балансовой прибыли (число интервалов = 5)

Номер группы	Группы предприятий по размеру прибыли, млн. руб.	Середина интервала, млн. руб.	Количество предприятий в группе (частота)	В % к итогу (частость)	Накопленная частота
j	(границы интервалов y_j_н – y_j_в)

	50 – 62			17,5
	62 – 74
	74 – 86
	86 – 98			17,5
	98 – 110
	ВСЕГО	–	n = 40		–

б. Мода в интервальном ряду распределения рассчитывается по наибольшей частоте или частости.

Сначала определим модальный интервал – интервал с наибольшим числом предприятий (частотой). В нашем случае это третий интервал, поскольку его частота составляет наибольшее значение – 16 предприятий.

Теперь рассчитаем моду:

млн. руб. – наиболее часто в интервальном ряду распределения встречаются предприятия с размером прибыли 79,1 млн. руб.

в. Медиана в интервальном ряду распределения рассчитывается по накопленной частоте.

Медиану вычислим в три шага:

1 шаг. Местоположение медианы в ряду рассчитано:

2 шаг. Определим медианный интервал.

Из данных таблицы 5.1, столбец 7, видно, что интервал, кумулятивная частота которого равна или впервые превышает 20,5 – это 3 интервал (74 – 86 млн. руб.), накопленная частота которого =27 предприятий.

3 шаг. Вычислим численное значение медианы:

млн. руб., т.е. половина предприятий имеет размер прибыли меньше 80,8 млн. руб., а половина – больше.

г. Показатели вариации для интервальных данных рассчитываются через середины интервалов :

- размах вариации:

104 – 56 = 48 млн. руб.;

- среднее линейное отклонение в интервальном вариационном ряду определяется:

млн. руб.

- дисперсия признака в интервальном ряду рассчитывается по формуле:

;

- среднее квадратическое отклонение:

млн. руб.;

- коэффициент осцилляции:

;

- линейный коэффициент вариации:

;

- коэффициент вариации:

Таким образом, вывод о достаточной однородности совокупности сорока предприятий подтверждается: коэффициент вариации и по сгруппированным данным составил величину меньше 20%.

Вывод: средние значения размера прибыли, рассчитанные по массиву несгруппированных данных и дискретному вариационному ряду (п. 1а, 2а) (80 млн. руб.), а также интервальному ряду распределения (80,3 млн. руб.) различаются. Это объясняется тем, что расчет средней по интервальному ряду распределения зависит от середин интервалов, на которые оказывают влияние границы интервалов (верхняя и нижняя границы). А границы интервалов зависят от способа группировки данных и расчетной ширины интервала (h_j), которая, к тому же, подвергалась округлению. Если сравнивать значения средних, рассчитанных по интервальному и дискретному рядам со средней, рассчитанной по массиву ранжированных данных, приняв ее за истинное значение, то в нашем случае только средняя, рассчитанная по дискретному ряду, оказалась точной.

Мода в дискретном ряду составляла 76 млн. руб., а в равноинтервальном ряду распределения (табл. 5.1) – 79,1 млн. руб. Расхождения в рассчитанных значениях объясняются тем, что при расчете моды в интервальном ряду распределения, как и при расчете средней, учитываются границы модального интервала (нижняя граница), которые при проведении группировки нередко округляются, что и приводит к погрешности в расчетах. Кроме того, признак внутри групп интервального ряда распределяется неравномерно, а мы при расчете моды подразумеваем его равномерное распределение внутри каждой группы, поэтому рассчитанное значение моды по интервальному ряду можно считать лишь примерными. Таким образом, расчетное значение моды сильно зависит от способа группировки первичных данных и вычисляется примерно. Точное значение моды можно определить только по дискретному вариационному ряду.

Медиана по данным дискретного вариационного ряда составляет 80,5 млн. руб. Она делит совокупность на две равные части: 20 первых предприятий имеют размер прибыли до 80,5 млн. руб. (не включая данное значение), 20 последних предприятий – более 80,5 млн. руб. (не включая данное значение). По равноинтервальному вариационному ряду медиана составила 80,8 млн. руб. (включая это значение). Расхождения в рассчитанных значениях медианы объясняются тем, что в расчетах медианы по интервальным рядам учитывается нижняя граница медианного интервала. Это означает, что значение медианы зависит от способа группировки данных и вычисляется примерно.

4. Все результаты расчетов сведем в таблицу 5.2.

Таблица 5.2

Результаты расчета средних величин и показателей вариации
для разных типов исходных данных

Показатель	Условное обозначение	Единица измерения	Значение показателя при разных типах исходных данных
Массив несгруппированных данных	ДВР (дискретный вариационный ряд)	ИВР (интервальный вариационный ряд
Средние величины
1. Среде значение		млн. руб.			80,3
2. Мода		млн. руб.	´		79,1
3. Медиана		млн. руб.	´	80,5	80,8
Абсолютные и относительные показатели вариации
4. Размах вариации		млн. руб.
5. Среднее линейное отклонение		млн. руб.	12,5	12,5	11,2
6. Общая дисперсия		´
7. Среднее квадратическое отклонение		млн. руб.	15,5	15,5	15,1
Относительные показатели вариации
8. Коэффициент осцилляции		%
9. Линейный коэффициент вариации		%	15,6	15,6	13,9
10. Коэффициент вариации		%	19,4	19,4	18,8